湖南省湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学2024届高三8月开学考试数学试题 含解析

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2023-2024 学年湖南省湘潭市钢铁集团第一子弟中学高三（上）开学
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合 ，求出函数 的值域可得集合 ，再求交集即可.
【详解】解不等式 得 ，函数 的值域为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
2. 欧拉公式 （其中 为虚数单位， ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三
角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则
（ ）
A. B. 为实数
C. D. 复数 对应的点位于第三象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的欧拉公式可判断 AB 选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数 ，结合复数
的模长公式可判断 C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断 D选项.
【详解】对于 A选项， ，A错；
对于 B选项， 为纯虚数，B错；
对于 C选项，因为 ，
因此， ，C对；
对于 D选项， ，则 ， ，
所以，复数 在复平面内对应的点位于第二象限，D错.
故选：C.
3. 已知 ，若 与 的夹角为 120°，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.
【详解】 ，
在 上的投影向量为 ，
故选：C
4. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识
日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为 ，排放前每过滤一次，该污染物的
含量都会减少 20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超
过 ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参
考数据： ， ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设该污染物排放前需要过滤的次数为 ，则由题意得 ，解不等式可
得答案.
【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为 ，则由题意得
，即 ，
所以 ， ，
，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 的最小值为 8，
故选：B
5. 已知函数 对于任意的 x∈ 满足 （其中 是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
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