湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高二上学期期末考试 数学答案

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衡阳市八中 2021 级高二上期期末考试
数 学 试 题
命题人：周正午 审题人：罗欢
注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：集合 ，集合 ，
所以 ,故选 D.
2．已知复数 的共轭复数 ，则复数 的虚部为（）
A．B．C．1 D．
【答案】C
【分析】根据复数运算，复数与共轭复数关系解决即可.
【详解】 ，
所以 ，
所以复数 的虚部为 1．
故选：C．
3．已知向量 均为单位向量，且 ，则 （）
A．2 B．C．4 D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】解：因为向量 均为单位向量，且 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
4．抛物线 的焦点到其准线的距离为（）
A．B．C．2 D．4
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到 ，再根据 的几何意义得解；
【详解】解：抛物线 ，即 ，则 ，所以 ，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为 .
故选：C
5．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成
的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，
假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从
一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时 27 分钟，则经过 19 分钟后，沙漏上方圆锥中的沙
子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）
A．1:1 B．2:1 C．2:3 D．3:2
【答案】B
【分析】由题意漏下来的沙子是全部沙子的 ，然后根据体积之比可得答案.
【详解】由题意漏下来的沙子是全部沙子的 ，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中
的沙子部分，
∴可以单独研究下方圆锥，
∴，∴ ，∴ .
故选：B
6．设 ， ， ，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的单调性，分别计算三个式子的取值范
围，比较大小.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
，所以 .
故选：D.
7．已知函数 ），若 在（0，π）上有 2个极大
值，则 的取值范围是（）
A．[， ） B．[，] C．（ ， ] D．（ ， ]
【答案】C
【分析】先对函数化简，然后由 ，所以 再由 在
（0，π）上有 2个极大值，可得 ，从而可求出 的取值范围
【详解】由题意可得 ．
因为 ，所以
因为 在（0， ）上有 2个极大值，
所以 ，
所以 ，
故选：C
8．在正方体 中， ，点 是线段 上靠近点 的三等分点，
在三角形 内有一动点 （包括边界），则 的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 关于平面 的对称点为
，利用点到面的距离的向量求法和 可构造方程组求得 坐标，利用
可求得结果.
【详解】以 为坐标原点， 为 轴，可建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
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