辽宁省葫芦岛市2022-2023学年高二上学期期末学业质量监测数学试题答案

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2023 年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试
高二数学
参考答案和评分标准
一、单选题
1—4 D C A A 5—8 B A C B
二、多选题
9.BD 10.CD 11.ACD 12.AC
三、填空题
13.
022 =−− yx
14.答案举例：
1
43
,1
68
2222 =−=− xyyx
（
)0(
34
22 =−
yx
的方程均可）
15.150
16.③
四、解答题
17.（本小题满分 10 分）
（1）若
6=n
6=n
，则
r
rrrr
r
r
rxCxxCT 3
4
2
6
)6(
3
1
61 )2()2( −
−
−
+−=−=
r
rrrr
r
r
rxCxxCT 3
4
2
6
)6(
3
1
61 )2()2( −
−
−
+−=−=
，
)6,,2,1,0( =r
)6,,2,1,0( =r
由，
−
Zrr
Zr
，60 3
4
2
−
Zrr
Zr
，60 3
4
2
,得
6,30，=r
6,30，=r
， ……………………………………………2分
∴有理项为
6
7
2
4
2
164160 −− =−== xTxTxT ，，
6
7
2
4
2
164160 −− =−== xTxTxT ，，
. …………………………………4分
（2）
r
n
r
n
rrr
rn
r
nr xCxxCT 3
4
)(
3
1
1)2()2( −
−
−
+−=−=
r
n
r
n
rrr
rn
r
nr xCxxCT 3
4
)(
3
1
1)2()2( −
−
−
+−=−=
，由题意
6:5)2(:)2( 5533 =−− nn CC
6:5)2(:)2( 5533 =−− nn CC
，即
067
2=+− nn
067
2=+− nn
，
解得
6=n
6=n
或
1=n
1=n
（舍） ……………………………………………………………6分
② 二项式系数之和为
6426=
6426=
； ………………………………………………8分
②令
1=x
1=x
，得各项的系数之和为
1)1( 6=−
1)1( 6=−
. …………………………………10 分
18.（本小题满分 12 分）
（1） 若选①，
由题意知，圆心是方程组
=
−=
0
22
y
xy
=
−=
0
22
y
xy
的解，
解得
=
=
0
1
y
x
，所以
)0,1(C
)0,1(C
，………………………………………………………………2分
设半径为
r
，则
2== ACr
2== ACr
． ……………………………………………………4分
则圆的方程为：
4)1( 22 =+− yx
． ……………………………………………………6分
若选②，
设圆心
)0,(aC
)0,(aC
，由题意知
24)1( 2=+−== aACr
24)1( 2=+−== aACr
，所以
1=a
1=a
． ………2分
所以圆心
)0,1(C
)0,1(C
，半径为
2
， …………………………………………………………4分
则圆的方程为：
4)1( 22 =+− yx
．……………………………………………………6分
若选③，
设圆心
)0,(aC
)0,(aC
，由题意知
MCAC =
MCAC =
，
即有
3)2(4)1( 22 +−=+− aa
3)2(4)1( 22 +−=+− aa
，解得
1=a
1=a
，……………………………………2分
所以圆心
)0,1(C
)0,1(C
，半径为
2
2
， …………………………………………………………4分
则圆的方程为：
4)1( 22 =+− yx
．……………………………………………………6分
（2） 由（ 1）知圆的方程为：
4)1( 22 =+− yx
，圆心
)0,1(C
)0,1(C
，半径
2=r
，
直线
l
l
过定点
)1,2(D
，要使弦长
PQ
PQ
最短，则
PQCD ⊥
PQCD ⊥
，
1−=PQCD kk
1−=PQCD kk
，
1
12
01 =
−
−
=
CD
k
1
12
01 =
−
−
=
CD
k
，
1−=PQ
k
1−=PQ
k
， …………………………8分
1-=k
.…………………………………………………………………………10 分
又
2=CD
2=CD
，
22)2(42 2=−=PQ
22)2(42 2=−=PQ
，所以弦长最小值为
22
22
．………………………12 分
（其他方法，阅卷小组自行赋分）
19.（本小题满分 12 分）
（1）证明：因为
1111 DCBAABCD −
1111 DCBAABCD −
为长方体，所以
⊥
11BA
⊥
11BA
平面
CCBB 11
CCBB 11
，
又
CCBBBE 11
CCBBBE 11
，所以
11BABE ⊥
11BABE ⊥
，………………………………………………………2分
又
MBBE 1
⊥
MBBE 1
⊥
，且 A1B1∩B1M=B1，
所以
⊥BE
⊥BE
平面
MBA 11
MBA 11
.………………………………………………………………………4分
（2） 以
A
A
为坐标原点，
1
AAADAB 、、
1
AAADAB 、、
所在直线分别为
x
x
轴、
y
y
轴和
z
z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得
)0,2,2()4,4,0()0,4,0()4,0,2()4,0,0()0,0,0( 111 MDDBAA 、、、、、
)0,2,2()4,4,0()0,4,0()4,0,2()4,0,0()0,0,0( 111 MDDBAA 、、、、、
则
)4,2,2()4,4,0()0,0,2( 1111 −−=−== MDDABA 、、
)4,2,2()4,4,0()0,0,2( 1111 −−=−== MDDABA 、、
，……………6分
设平面
DBA 11
的一个法向量
),,( zyxn =
，则
=
=
0
0
1
11
nDA
nBA
=
=
0
0
1
11
nDA
nBA
，
即
=−
=
044
02
zy
x
=−
=
044
02
zy
x
，
令
1=y
1=y
，可得
)1,1,0(=n
)1,1,0(=n
， …………………………………………………………8分
设直线
MD1
MD1
平面
DBA 11
所成的角为
，则，
MDn
MDn
MDn
1
1
1
cos
,cossin
==
MDn
MDn
MDn
1
1
1
cos
,cossin
==
2
3
242
42 =
−−
=
2
3
242
42 =
−−
=
,…………………10 分
又
2
,0
2
,0
，所以
3
=
3
=
，
即直线
MD1
MD1
平面
DBA 11
所成的角为
3
3
.……………………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
（1）因为直线
1: += kxyl
1: += kxyl
恒过点
)1,0(
)1,0(
，即抛物线
C
C
的焦点为
)1,0(F
，
所以
1
2=
p
1
2=
p
，解得
2=p
2=p
， ………………………………………………………………2分
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