辽宁省滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学试卷

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滨城高中联盟 2023-2024 学年度上学期高三期中Ⅰ考试
数 学
命题人：大连市第二十三中学 马晓晶 校对人：大连市第二十三中学 刘金秋
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. 设命题 p:∃x₀ ∈(0,+∞),lnx₀>x₀-1,则￢p为( )
A. ∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1 B. ∃x₀∈(0, + ∞),lnx₀≤x₀ 1﹣
C. ∀x∈(-∞,0],lnx≤x-1 D. ∃x₀ ∈(-∞,0],lnx₀≤x₀ -1
2. 已知集合
A={x∨log2x<1}, B=
{
x∨y=❑
√
2x−4
}
,
则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A. (-∞,2) B. (-∞,2] C. (0,2) D. [0,2]
3．若复数 z满足(1－3i)z＝1＋i，则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知幂函数
f
(
x
)
=
(
m2−2m− 2
)
xm2+m−2
在(0, ∞)﹢ 上是减函数, 则 f(m)的值为 ( )
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
5. 函数
y=logₐx+aˣ ⁻¹+2
(a>0 且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k 且m>0, n> 0, 则
9
m+1
n
的最小值
为( )
A. 9 B. 8 C.
9
2
D.
5
2
6. 已 知 △ ABC 中,∠BAC = 120°, AC = 3AB=3,DC=2AD, 在线段 BD 上取点 E， 使 得
⃗
BE=3
⃗
ED ,
则
A . −
❑
√
14
7
B .
❑
√
14
7
C . −
❑
√
21
7
D .
❑
√
21
7
7. 已知函数
f
(
x
)
=
{
e
(
x+1
)
2, x ≤ 0
x+4
x−3, x >0,
函数 y=f(x) a﹣ 有四个不同的零点，从小到大依次为 x₁, x₂, x₃, x₄, 则x刂
x₁x₂ +x₃+x₄ 的取值范围为( )
A. (5,3+e] B. (4,4+e) C. [4, + ∞) D. (-∞,4]
8.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0 且|
¿φ∨¿π
2¿
满足以下条件：
①∀x∈R, 满 足
f
(
x
)
≥ f
(
7π
12
)
;
②∃x₀, 使 得
f
(
π
3
)
=f
(
x0
)
=0;
且
¿x0−π
3¿min>π
6,
则 关 于 x 的 不 等 式
[
f
(
x
)
− f
(
−31 π
4
)
][
f
(
x
)
− f
(
31 π
3
)
]
>0
的最小正整数解为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9. 下列结论正确的是( )
A. 若a, b 为正实数, a>b, 则a³ b³>a²b+ab²﹢
B. 若a, b, m 为正实数, a<b, 则
a+m
b+m<a
b
C. 若a, b∈R, 则“a>b>0”是
“1
a<1
b”
的充分不必要条件
D. 不等式|x m|<1﹣ 成立的充分不必要条件是
1
3<x<1
2,
则m的取值范围是
[
−1
2,4
3
)
10. 已知向量 a,b 满足
¿
⃗
a+2
⃗
b∨¿∨
⃗
a∨,∨3
⃗
a+
⃗
b∨¿∨
⃗
a −
⃗
b∨,
且
¿
⃗
a∨¿2,
则（ ）
A .∨
⃗
b∨¿2
B .
⃗
a+
⃗
b=
⃗
0
C .∨
⃗
a −2
⃗
b∨¿6
D .
⃗
a⋅
⃗
b=4
11. 已知 f(x)为R上的奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=lgx,记g(x)=sinx+f(x)·cosx,下列结 论正确的是 ( )
A. g(x)为奇函数
B. 若g(x)的一个零点为 x₀,且x₀<0,则]
lg
(
− x0
)
−tan x0=0
C. g(x)在区间
(
−π
2, π
)
的零点个数为 3个
D. 若g(x)大于 1的零点从小到大依次为 x₁,x₂,…, 则7<x₁+x₂<3π
12. 已知连续函数 f(x)满足:①∀x,y∈R,则有 f(x+y)=f(x)+f(y) 1,,﹣ ② 当 x>0 时,f(x)<1,③f(1)=-2,则以下说法中正确的
是( )
A. f(x)的图象关于(0, 1)对称
B. f(4x) = 4f(x) 4﹣
C. f(x)在[-3,3]上的最大值是 10
D. 不等式 f(3x²) 2f(x) >f(3x)+4﹣ 的解集为
{x∨2
3<x<1}
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 已知
f
(
x
x+1
)
=x − 1,
则 f(x)= .
14. 已知
⃗
a=
(
sin α ,cos α
)
, α ∈
(
π
2, π
)
,
⃗
b=
(
2,1
)
,
若
⃗
a
⊥
⃗
b
,则:
sin
(
α − π
4
)
=
¯¿
15. 函数
f
(
x
)
=
(
x+1
)
eˣ − a
(
a∈R
)
,
若函数 f(x)恰有两个零点， 则 a的取值范围是 .
16.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法， 具
体步骤如下： 设 r是函数 y=f(x)的一个零点， 任意选取 x₀ 作为 r的初始近似值，以点(x₀,f(x₀))为切点作曲线 y=f(x)
的切线 l₁,设l₁ 与x轴交点的横坐标为 x₁,并称 x₁ 为r的1次近似值；以点(x₁,f(x₁))为切点作曲线 y=f(x)的切线 l₂，设
l₂ 与x轴交点的横坐标为 x₂，称 x₂ 为r的2次近似值，以点(
(
xn, f
(
xn
)
)
(
n∈N∗
)
)为切点作曲线 y=f(x)的切线 ln₊₁,记
ln₊₁ 与x轴交点的横坐标为 xn+1，设、f(x)=x³+2x-2(x≥0)的零点为 r，取 x₀=0,则r的2次近似值为 ： 设
an=3xn
3+2xn
2xn
3+2
(
n∈N∗
)
,
数列{an}的前 n项积为 Tn. 若任意的；n∈N*, Tn<λ 恒成立，则整数 λ的最小值为 .
四、解答题：本大题共 6小题，共 10 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)设Sₙ 是公差不为 0的等差数列{aₙ}的前 n项和，已知
1
3S3
与
1
4S4
的等比中项为
1
5S5,
且
1
3S3
与
1
4S4
的等差中项为
−5
4.
(1)求数列{aₙ}的通项公式;
(2)设
bn=1
an⋅an+1
,
求数列{bₙ}的前 n项和 Tₙ.
18. (12 分)在△ ABC 中,角A、B、C的对边分别为 a、b、c. 已知
sin A+❑
√
3 cos A=0.
(1)求角 A 的大小;
(2)给出以下三个条件：① a=4
❑
√
3
,
b=4;②b2−a2+c2+10 b=0;
③
S△ABC=15 ❑
√
3.
若这三个条件中仅有
两个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：
(i)求sinB 的值;
（ii）∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D，求 AD 的长.
19. (12 分) 已知数列{aₙ}中, a₂ = 1, 设Sn 为{aₙ}前n项和,
2Sₙ=naₙ.
(1) 求{aₙ}的通项公式;
(2)求数列
{
an+1
2n
}
的前 n项和 Tₙ.
20. (12 分) 已知函数
f
(
x
)
=2❑
√
3−4❑
√
3 cos2
(
ωx+π
6
)
−4 sin ωx cos ωx
（x R∈且
ω>0
）的两个相邻的对称中心的
距离为
π
2
.
(1)求f(x)在 R上的单调递增区间;
(2)将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，得到函数 g(x)，若
g
(
α
)
=1
2, α ∈
[
0, π
)
,
求
cos
(
2α − π
6
)
的值
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