山西省省际2023届高三联考一（启航卷）数学试题 含解析

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数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用 0.5mm 黑色笔迹签字笔写在
答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知复数 （其中 是虛数单位）.则
A. B. C. D.
3.有一个正四棱台的油槽，可以装油 152 升.若油槽的上下底面边长分别为 60cm 和40cm，则它的深度是
A.180cm B.80cm C.60cm D.30cm
4.现有 6个大小相同、质地均匀的小球，球上标有数字 1、3，3，4，5，6.从这 6个小球中随机取出两个球，
如果已经知道取出的球中有数字 3.则所取出的两个小球上数字都是 3的概率为
A. B. C. D.
5. 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 且 为 奇 函 数 .当 时 ，
，则
A.1 B. C.0 D.2
6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流
芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 37m，在
地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，鹳雀楼顶部 的仰角分别为 30°和45°，在
处测得楼顶部 的仰角为 15°，则鹳雀楼的高度约为
A.64m B.74m C.52m D.91m
7.已知曲线 上一点 处的切线为 ，曲线 上至多存在一条与 垂
直的切线，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点 作抛物线的
弦，与抛物线交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的切线 ， 相交于点 ，那么阿基米德三角形
满足以下特性：①点 必在抛物线的准线上；② 为直角三角形，且 为直角；③
，已知 为抛物线 的准线上一点，则阿基米德三角形 面积的最小值为
A. B. C.2 D.1
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.设向量 ， ，则
A. B. 与 的夹角为 C. D.
10.已知函数 ，则下列结论正确的是
A.函数 在 上单调递减
B.函数 的值域是
C.若方程有5个解，则 的取值范围为
D.若函数 有 3个不同的零点 ， ， ，则 的取值范围为
11.已知正方体的棱长为 2，其外接球的球心为 ，点 满足 ，过
点 的平面平行于 和 ，则
A.平面平面
B.平面平面
C.当 时，平面截球 所得截面的周长为
D.平面截正方体所得截面的面积为定值
12.已知圆 ，点 为直线 上的动点，则下列说法正确的是
A.圆心到直线 的最大距离为8
B.若直线 平分圆 的周长、则
C.若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ，则
D.若 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，当点 坐标为 时， 有最大值
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 的展开式中常数项为___________（用数字作答）.
14.已知数列 满足 ， ，则 的通项公式是_____
__.
15.已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别为 ， ， 为双曲线 的右支上一点，
点关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为________.
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