山西省大同市第一中学2022~2023学年高二上学期期末考试数学试卷答案

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2022-2023 学年第一学期高二期末考试
数学参考答案
命题人：董凯 审核人：张晓敏
一、单选题(每小题 5分，共 40 分)
1.D 2.C 3.D 4.A
5.D 6.B 7.C 8.C
二、多选题(每小题 5分，共 20 分；漏选得 2分，错选得 0分)
9.BD 10.AC 11.AB 12.BC
三、填空题(每小题 5分，共 20 分)
13.59 14.32 15.3 16.0 或
1
2
四、解答题(共70 分)
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.
因为 a3=b3，a4=b4，
所以 a2+d=b2q，a2+2d=b2q².
又因为 a2=0，b2=1，
所以 d=q，2d=q².
即有 2q=q²，解得 q=2，所以 d=2，且 a1=-2，b1=
2
1
.
于是 an=2(n-2)，bn=2n-2.
(2) Sn=1·b1+2b2+3b3+…+(n-1)bn-1+nbn ①
2Sn= b2+2b3+… +(n-1)bn+2nbn ②
①－②得-Sn=b1+b2+b3+… +bn-2nbn=2n-2(2-2n)-1
2，
所以 Sn=2n-2(2n-2)+1
2.
18. 解：(1)当
2a=
时，
( )
ln 2 2f x x x x= − +
，
( )
ln 1f x x
=−
由
( )
0fx
得
0xe
﹐由
得
xe
，
所以
( )
fx
在
( )
0,e
上单调递减，在
( )
e,+
上单调递增，
且
( )
e elne 2e 2 2 ef= − + = −
( )
1 1ln1 2 1 2 0f= −  + =
( )
2 2 2 2
ln 2 2 2f e e e e= − + =
则函数
( )
fx
的最小值为
2e−
，最大值为 2．
(2) 由题得
0x
，若
( )
0fx
恒成立，则
ln 2 0x ax− + 
，
即
2
ln xa
x
+
恒成立
令
( )
2
lng x x x
=+
，则
( )
22
1 2 2x
gx x x x
−
= − =
，
当
0 2x
时，
( )
0gx
；
当
2x
时，
( )
0gx
，
所以
( )
gx
在
( )
0,2
上单调递减，在
( )
2,+
上单调递增，
B
F
P
E
C
D
A
G
O
则
( ) ( )
min 2 1 ln2g x g= = +
，所以
1 ln2a+
，
故
a
的取值范围为
(
,1 ln2− +
．
19.(1)证明：连接
AC
，交
DE
于点
G
，连接
GF
.
底面 为菱形，且 为 中点，
2
1
=GA
GC
F
为
AP
上一点，且满足
FAPF 2
1
=
，
PCGF //
，
又
DEFGF 平面
,
DEFPC 平面
，
∴
//PC
平面
DEF
．
(2)解：取
AB
的中点为
O
，连接
PODO,
， 底面 为菱形，
且
=60DAB
，平面 平面 ，
ABPDO 平面⊥
，
ABPBAP 2
2
==
，
ABPO ⊥
以
ODOBOP ,,
所在的直线分别为
zyx ,,
轴，建立如图所示的坐标系 O-xyz，
则
)0,
3
1
,
3
2
(−F
，
)0,1,0(B
，
)3,0,0(D
，
)
2
3
,
2
3
,0(E
.
∴
)3,
3
1
,
3
2
(),
2
3
,
2
3
,0( −−== DFDE
.
设平面
DEF
的一个法向量为
),,( zyxm =
,
则
=
=
0
0
DFm
DEm
，即
=−−
=−
03
3
1
3
2
0
2
3
2
3
zyx
zy
.
取
3=z
，则
)3,1,5(=m
，
易得平面
DEB
的一个法向量为
)0,0,1(=m
，
所以
29
295
29
5
,cos ==
=nm
nm
nm
所以二面角
BDEF−−
的余弦值为
29
295
20.解：(1)数列
 
n
a
满足
( )
12
3 2 1 2=
n
a a n a n+ ++ −
2n
时,
( ) ( )
1 2 1
3 2 3 2 1
n
a a n a n+ ++ − −
﹣＝
∴
( )
2 1 2
n
na−=
∴
2
21
n
an
=−
当
1n=
时,
12a=
,上式也成立
∴
2
21
n
an
=−
ABCD
E
BC
ABCD
PAB
⊥
ABCD
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