山东省烟台市2023届高三一模数学试题答案

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高三数学答案（第 1 页，共 7 页）
2023 年高考诊断性测试
数学参考答案及评分标准
一、选择题
A C B B A D B C
二、选择题
9.AC 10.ACD11. ABD 12.ABD
三、填空题
11.
60
12.
43
75
13.
2 1 0xy  
14.
5
，
148
5
四、解答题
17.解：（1）设数列
 
n
a
的公比为
q
，因为
1 3 2
3 , ,5a a a
成等差数列，
所以
， ······································································ 1分
即
2
3 5 2qq
，解得
3q
或
1
2
q
，
因为
 
n
a
各项均为正数，所以
0q
，所以
3q
. ····································· 2分
由
43
55Sa
，得
 
4
121
315 5 3
31
aa
 
，解得
11a
. ··························· 4分
所以
11
133
nn
n
aa


. ········································································· 5分
（2）由（1）知，
1
3n
n
bn

. ·································································· 6分
则
0 1 2 1
1 3 2 3 3 3 3n
n
Tn
 
所以
1 2 3
3 1 3 2 3 3 3 3n
n
Tn 
， ··········································· 7分
两式相减可得
0 1 1
2 3 3 3 3
nn
n
Tn
 
， ······································· 8分
13 3
13
nn
n
 
，
整理可得
2 1 1
3
44
n
n
n
T
 
. ······························································· 10 分
18.解：（1）因为
2 cosc b A b
，由正弦定理得
sin 2sin cos sinC B A B
. ··· 2分
又
πA B C 
，所以
高三数学答案（第 2 页，共 7 页）
sin( ) 2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinA B B A A B A B A B B 
. ···· 4分
因为
ABC
为锐角三角形，所以
π π
(0, ), (0, )
22
AB
，
π π
( , )
22
AB  
，
又
sinyx
在
π π
( , )
22
上单调递增，所以
A B B
，即
2AB
. ··············· 6分
（2）由（1）可知，
2AB
，所以在
ABD
中，
ABC BAD  
，
由正弦定理得：
2
sin sin(π2 ) sin2
AD AB
B B B

，所以
1
cos
AD BD B

，
所以
1 sin
sin tan
2 cos
ABD
B
S AB AD B B
B
 
. ···································· 9分
又因为
ABC
为锐角三角形，所以
π
02
B
，
π
02 2
B
，
π
0π32
B 
，
解得
π π
64
B
， ··············································································· 11 分
所以
3
tan ( ,1)
3
B
，即
ABD
面积的取值范围为
3
( ,1)
3
. ······················· 12 分
19.解：（1）Logistic 非线性回归模型
1e
a bt
u
y
拟合效果更好. ····················· 1分
从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近；从残差图看，该模型下的残
差更均匀地集中在以残差为
0
的直线为对称轴的水平带状区域内. ···················· 3分
（2）将
1e
a bt
u
y
两边取对数得
ln( 1)
ua bt
y  
, ··································· 5分
则
20
120 2
1
( )( ) 138.32
ˆ0.208
665
()
ii
i
i
i
w w t t
b
tt

 
,
ˆ0.208b
, ····················· 7分
ˆ
ˆ( ) 1.608 0.208 10.5 0.576a w b t  
. ···································· 9分
高三数学答案（第 3 页，共 7 页）
z
y
x
E
O
A
B
C
D
V
所以
y
关于
t
的经验回归方程为
0.576 0.208
12.5
1e t
y
. ·································· 10 分
当
22t时，
体长
0.576 0.208 22 4
12.5 12.5 12.28
1 e 1 e
y 
 

mm. ························· 12 分
20. 解：（1）证明：取
BC
中点
E
，连接
,,BD DE VE
，
因为
ABCD
为菱形，且
60BAD
，
所以
BCD
为等边三角形，故
DE BC
.···· 1分
又在等边三角形
VBC
中，
VE BC
， ······· 2分
DE VE E
，所以
BC
面
DEV
. ·········· 4分
VD
面
DEV
，所以
BC VD
； ············· 5分
（2）由
VE BC
，
DE BC
，可得
DEV
就是二面角
A BC V
的平面角，
所以
60DEV
， ·········································································· 6分
在
DEV
中，
3VE DE
，所以
DEV
为边长为
3
的等边三角形，
由（1）可知，面
DEV
底面
ABCD
，取
DE
中点
O
，以
O
为坐标原点，以
,,DA OE OV
所在的方向为
,,x y z
轴的正向，建立空间直角坐标系
O xyz
， ···· 7分
在
VOE
中，
33
,
22
OE OV
，可得
3
(2, ,0)
2
A
，
3
(1, ,0)
2
B
，
3
( 1, ,0)
2
C
，
3
(0,0, )
2
V
，故
(2,0,0)CB
，
33
(1, , )
22
CV 
，
33
( 2, , )
22
AV 
. ········· 8分
设
( , , )x y zn
为平面
VBC
的一个法向量，则有
20
330
22
x
x y z
 
，令
3y
，则
1z
，得
(0, 3,1)n
， ················· 10 分
设直线
VA
与平面
VBC
所成角为
，
则有
| | 3 3 7
sin | cos , | 14
27
| || |
AV
AV AV
 
n
nn
，
故直线
VA
与平面
VBC
所成角的正弦值为
37
14
. ······································ 12 分
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