山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期末学业水平诊断数学答案

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高三数学答案（第 1 页，共 6 页）
2022～2023 学年度第一学期期末学业水平诊断
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题
D B B C A C D A
二、选择题
9.BC 10. ACD 11. ACD 12. ABD
三、填空题
13.
1
14.
3
2
15.
67
16.
1
2
四、解答题
17.解：（1）由正弦定理可得
sin cos +sin sin sinA C AC B=
， ······················· 1分
因为
π
ABC++=
，所以
sin cos +sin sin sin( )A C A C AC
= +
，
即
sin cos +sin sin sin cos cos sinA C AC A C AC= +
， ···························· 2分
整理得：
sin sin cos sinAC AC=
，
因为
，所以
sin 0C≠
，所以
tan 1
A=
，
因为
，所以
4
A
π
=
. ································································ 4分
（2）在
ABD∆
中，由余弦定理得：
222
2 cosBD AB AD AB AD A=+−⋅
， ······ 5分
即
22
9 2 (2 2)AB AD AB AD AB AD= + − ⋅ ≥− ⋅
， ································ 6分
整理得
9(2 2)
2
AB AD +
⋅≤
，当且仅当
时，等号成立.
所以
1 2 9( 2 1)
sin
2 44 4
ABD
S AB AD AB AD
π
+
= ⋅ = ⋅≤
△
， ························ 8分
因为
2AD DC=
 
，所以
3 27( 2 1)
28
ABC ABD
SS +
= ≤
△ △
，
所以
ABC△
面积的最大值为
27( 2 1)
8
+
. ···············································
10 分
18.解：（1）因为
1
2
nn n
aa S
+
=
*
()n∈N
，所以
( )
11
22
nn n
aa S n
−−
= ≥
，
两式相减得
( )
( )
11
22
nn n n
aa a an
+−
−= ≥
. ····································································· 1分
高三数学答案（第 2 页，共 6 页）
又因为
0
n
a≠
，所以
( )
11
22
nn
aa n
+−
−=≥
， ······························································ 2分
所以数列
{ }
21
n
a
−
和
{ }
2n
a
都是以
2
为公差的等差数列.
因为
11a=
，所以在
1
2
nn n
aa S
+
=
中，令
1n=
，得
2
2a=
，
所以
( )
21
1 2 1 2 1,
n
a nn
−
=+ −= −
( )
2
2 1 2 2,
n
an n=+ −×=
············································· 3分
所以
n
an=
， ··················································································································· 4分
对于数列
{}
n
b
，因为
1
1
2
n nn
b
bbb
+
⋅=
=
，且
0
n
b≠
，所以
1*
2( )
n
n
n
b
b
+
= ∈N
， ··········· 6分
所以数列
{ }
n
b
是以
2
为首项，
2
为公比的等比数列，所以
2n
n
b=
. ························ 7分
（2）因为
23
=1 2 2 2 3 2 ... 2
n
n
Tn×+× +× + +×
所以
( )
234 1
2 =1 2 2 2 3 2 1 2 2
nn
n
T nn
+
×+×+×++−×+×
··································· 8分
两式相减得，
21
22 2 2
nn
n
Tn
+
− =+ + + −×
··························································· 9分
1
1
22 2
12
n
n
n
++
−
= −×
−
1
2 ( 1) 2
n
n
+
=−− − ×
························································································· 11 分
所以
( )
1
12 2
n
n
Tn
+
= −× +
. ····························································································· 12 分
19. 解 ：（ 1）证明：取
BC
中点
O
，连接
,
OA OD
，
因为
ABC∆
是以
BC
为斜边的等腰直角三角形，所以
OA BC⊥
. ························· 1分
因为
BCD∆
是等边三角形，所以
OD BC⊥
. ··························································· 2分
OA OD O=
，
OA ⊂
平面
AOD
，
OD ⊂
平面
AOD
， ······································ 3分
所以
BC ⊥
平面
AOD
. ································································································· 4分
因为
AD ⊂
平面
AOD
，故
BC AD⊥
. ···································································· 5分
（2）在
AOD∆
中，
1AO =
，
3OD =
，
7AD =
，由余弦定理可得，
3
cos 2
AOD∠=−
，故
150AOD∠=
. ·············· 6分
如图，以
,OA OB
 
及过
O
点垂直于平面
ABC
的方向为
,,xyz
轴
的正方向建立空间直角坐标系
O xyz−
， ·············· 7分
可得
33
( , 0, )
22
D−
，所以
33
( , 1, )
22
BD =−−
 
，
(0, 2, 0)CB =

，
( 1,1, 0)AB = −
 
，
z
y
x
O
D
C
B
A
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