山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析

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2022~2023 学年度第一学期期末学业水平诊断
高二数学
注意事项：
1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区
书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 是数列 、 、 、 、 的（ ）
A. 第 项 B. 第 项 C. 第 项 D. 第 项
【答案】A
【解析】
【分析】列举出该数列的前 项，可得结果.
【详解】由题意可知，该数列为 、 、 、 、 、 、 ，
故 是数列 、 、 、 、 的第 项.
故选：A.
2. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若过 且斜率不为 的直线交椭圆于 、 两点，
则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的定义可求得 的周长.
【详解】在椭圆 中， ，
所以， 的周长为 .
故选：D.
3. 在数列 中， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】推导出对任意的 ， ，利用数列的周期性可求得 的值.
【详解】在数列 中， ，且 ，
则 ， ， ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，所以， .
故选：D.
4. 如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽 时，拱顶距离水面 ，当水面上升 后，桥洞内水
面宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，过原点且垂直于 轴的直线为 轴建立平
面直角坐标系，设抛物线的方程为 ，分析可知点 在该抛物线上，求出 的值，
可得出抛物线的方程，将 代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，过原点且垂直于 轴的直线为 轴建立如
下图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为 ，由题意可知点 在抛物线上，
所以， ，可得 ，所以，抛物线的方程为 ，
当水面上升 后，即当 时， ，可得 ，
因此，当水面上升 后，桥洞内水面宽为 .
故选：C.
5. 《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：
“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座 7层塔，共悬挂了 381 盛灯，且相
邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（ ）
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为 2，然后由等比数列的前 7
项和为 381 列式计算即可.
【详解】设灯塔每层的灯数满足数列 ，顶层的灯数为 ，前 项和为 ，
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