山东省泰安市2023-2024学年高三上学期期中考试 数学 答案

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高三数学试题参考答案 第 页 （共 5页）
高三年级考试
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：
题 号
答 案
1
B
2
A
3
C
4
D
5
A
6
B
7
C
8
D
二、多项选择题：
题 号
答 案
9
AC
10
BCD
11
ACD
12
BCD
三、填空题：
13. 2 3 14. -2 15. [ -2 2 ,2 2 ] 16. 100
四、解答题：
17.（10 分）
解：（1）
∵f '(x) = x2- 3x+ 4a,
∴A= { x
|
x2- 3x+ 4a< 0 }.…………………………………………………… 1分
∵B= { x
|
1 ≤ x< 6 } ,A⋂B= { x
|
1 ≤ x< 5 },
∴ 5 为方程 x2- 3x+ 4a= 0 的根 .…………………………………………… 3分
∴ 4a= -10,
∴a= - 5
2.……………………………………………………………………… 5分
（2）由题知 f '(x) < 0在(2, + ∞ )上有解,…………………………………………… 7分
∵f '(x) = x2- 3x+ 4a的对称轴为 x=3
2< 2,
∴f '(x)在(2, + ∞ )上单调递增,
∴f '(2 ) < 0.…………………………………………………………………… 9分
∴a<1
2.……………………………………………………………………… 10 分
18.（12 分）
解：（1）
∵f(x) = 4 cos x(sin xcos π
3+ cos xsin π
3) - 3
= 2 cos xsin x+ 2 3 cos2x- 3
= sin 2x+3 cos 2x
= 2 sin (2x+π
3).…………………………………………………… 3分
∴f(x) ≥ 1 即sin (2x+π
3) ≥ 1
2,
2023
.
11
1
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高三数学试题参考答案 第 页 （共 5页）
∴π
6+ 2kπ ≤ 2x+π
3≤5
6π + 2kπ,k∈Z,
∴- π
12 +kπ ≤ x≤π
4+kπ,k∈Z.…………………………………………… 5分
∴不等式 f(x) ≥ 1 的解集为[ - π
12 +kπ, π
4+kπ ]( k∈Z).………………… 6分
（2）g(x) = 2 sin (2x+π
2) + 4 cos x- 1
= 2 cos 2x+ 4 cos x- 1
= 4 cos2x+ 4 cos x- 3.………………………………………………… 8分
∵x∈ [ - π
6,5
6π ] ,
∴ cos x∈ [ - 3
2,1 ],
设cos x=t,则t∈ [ - 3
2,1 ].………………………………………………… 9分
令y=g(x),则y= 4t2+ 4t- 3 = 4(t+1
2)2- 4,
∴当t= - 1
2时,ymin = -4.
当t= 1 时，
ymax = 5.……………………………………………………… 11 分
∴g(x)在[ - π
6,5π
6]上的最小值为 - 4, 最大值为5…………………… 12 分
19.（12 分）
解：（1）
∵an+ 1 + 2SnSn+ 1 = 0,
∴Sn+ 1 -Sn+ 2SnSn+ 1 = 0,又Sn≠ 0
∴1
Sn+ 1
-1
Sn
= 2.…………………………………………………………… 2分
∴数列{1
Sn
}是公差为 2，首项为 1
S1
= 1 的等差数列 .
∴1
Sn
= 2n- 1 即Sn=1
2n- 1.…………………………………………… 4分
当n≥ 2 时，an=Sn-Sn- 1 =-2
(2n- 1 )( 2n- 3 ),…………………………… 5分
∵a1=S1= 1
∴an=
ì
í
î
ï
ï
1, n= 1
-2
(2n- 1 )( 2n- 3 ) ,n≥ 2 .…………………………………………… 6分
2
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高三数学试题参考答案 第 页 （共 5页）
（2）n= 1时,b1=2
1
S1S1
a1
= 2
n≥ 2时,bn=2
1
Sn Sn
an
=
1
2n- 1 22n- 1
-2
(2n- 1 )( 2n- 3 )
= (3 - 2n)4n- 1.…………………… 7分
设{bn}的前 n项和为 Tn,则
Tn= 2 - 41- 3 × 42… + (3 - 2n)4n- 1,
4Tn= 2 × 41- 42… + (5 - 2n) × 4n- 1 + (3 - 2n)·4n.……………………… 8分
∴-3Tn= -2 - 2 ⋅ (41+ 42+ … + 4n- 1 ) - (3 - 2n)·4n
= -2 - 2 ⋅ 4(1 - 4n- 1 )
1 - 4 + (2n- 3 )·4n
=2
3+ (2n-11
3)·4n.……………………………………………… 11 分
∴Tn= - (6n- 11 )·4n+ 2
9.………………………………………………… 12 分
20.（12 分）
解：（1）∵ sin2C= cos 2A- cos 2B= 1 - 2 sin2A- (1 - 2 sin2B)
= 2 sin2B- 2 sin2A
∴c2= 2b2- 2a2.…………………………………………………………… 2分
∵c= 3 a
∴b2=5
2a2,b=10
2a
∴ cos C=a2+b2-c2
2ab =
a2+5
2a2- 3a2
2 × a×10
2a
=10
20 ………………………… 4分
（2）
∵a= 2,
∴b2=c2
2+ 4,
∴在△ABC中, cos B=c2+a2-b2
2ac =c
8, sin B=64 - c2
8.………………… 6分
∵AD =BD,
∴在△ABD中, cos B=AB2+BD2-AD2
2BD·AB =AB
2BD =c
2BD ,
∴c
8=c
2BD ,
∴BD = 4 .………………………………………………………………………… 8分
3
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