山东省日照市2022-2023学年高三下学期一模数学答案

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高三数学试题 第 1页 共 5页
2020 级高三模拟考试
数学答案 2023.02
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1-4 DCDC 5-8BBBA
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求的，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9.ABD 10. AC 11. ABC 12.AD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13.
10
14.
3
15.
1
3
或
10
16.
2 1.
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）解：因为
2
3
1 2
2 3 4 1
n
a a
a a n n
n
 
L
，①
则当
1n
时，
，即
14a
，. ………………1 分
当
2n
时，
2
3 1
1 2
2 3 4
n
a a
a a n n
n
  L
，②
①
② 得
2
1
n
an
n
， 所以
2 ( 1)
n
a n n 
，. ……………….4 分
14a
也满足
2 ( 1)
n
a n n 
，故对任意的
Nn
，
2 ( 1)
n
a n n 
. ……………….5 分
（2）证明：
1 1 1
( )
( 2) 2 ( 1)( 2) 2 1 2
n
n a n n n n n
n n
 
 
，……….7 分
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 ( 2) 2 2 3 3 4 1
2
2
n
a a n a n n
n 
   
 
 
 
L L
1 1 1 1
2 2 2 4n
 
 
 
 
. ……………….10 分
18．(1)解：因为
sin sin
2
A C
a b A
，
所以由正弦定理边角互化得
sin sin sin sin
2
A C
A B A
，……….2 分
因为
 
0, π ,sin 0, πA A A C B  
，
所以
π
sin sin
2 2
BB
 
 
 
 
，即
cos sin
2
BB
，所以
cos 2sin cos
2 2 2
B B B
，……….4 分
因为
 
0, πB
，所以
π
(0, ), cos 0
2 2 2
B B
 
，
所以
1
sin 2 2
B
，所以
π
2 6
B
，即
π
3
B
……….6 分
(2)解：因为
AC BC
，
3
B
，
所以
ABC
为等边三角形，即
1AC BC AB  
，
如图，设
AD m
，则
1 ,BD m PD m 
，
高三数学试题 第 2页 共 5页
所以在
BPD△
中，由余弦定理得
 
 
2
2 2
2 2 2 11
cos 2 2 1 2
BP m m
BP BD PD
BBP BD BP m
 
 
 
 
，
整理得
   
2
2 2
1 1BP m m BP m  
，设
, 0 1BP x x  
，
所以
 
2
22 3 2 3
1 3
2 3
2 2 2
x x
x x
m x
x x x
 
 
 
 
，……….10 分
由于
0 1x 
，故
1 2 2x
所以
3
2 3 2 3 3
2
m x x
 
，当且仅当
3
2 3
2
xx
 
时等号成立，
此时
2 3x 
；
所以
AD
的最小值为
2 3 3
. ……….12 分
19．解：由题可知：
PO ABC面
，分别取
AC
，
BC
的中点
M N，
，连接
PM
，
OM
,
PN
,
ON
,
则在圆
O
中，
OM AC
；
因为
PA PC
,
M
是
AC
中点，所以
AC PM
；
所以
PMO
 
.同理
PNO
 
. ……….3 分
于是
2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
tan tan 2
OM ON OC OC
OP OP OP AP OA
 
 
……….6 分
（2）因为
tan 3 tan
 
，即
3
OP OP
ON OM
，
3OM ON
所以
3BC AC
，又
2 2 2 16BC AC AB  
,
解得
2AC
，
2 3BC
……….8 分
在圆
O
中，
CA CB
，以点 C为坐标原点，
CA
所在直线为
x
轴，
CB
所在直线为
y
轴，过
C
且
垂直于平面
ABC
的直线为
z
轴建立空间直角坐标系
C xyz
，
则
(0,0,0)C
，
(2,0,0)A
,
(0,2 3,0)B
,又因为
PO ABC面
，
所以
/ /OP z
轴，从而
(1, 3,2 2)P
.
则
(2,0,0)CA
uur
,
(0,2 3,0)CB
uur
,
(1, 3,2 2)CP
uur
,
设平面
的法向量为
( , , )x y zm
，
则
0
0
CA
CP
 
 
m
m
uur
uur
，即
2 0
3 2 2 0
x
x y z
 
不妨取
2 2y
，则
0x
，
3z 
，此时
(0,2 2, 3) m
同理，平面
的一个法向量
( 2 2,0,1) n
……….10 分
所以
3 33
cos = =
| | | | 33
11 3
 
 
m n
m n
m n
，
又二面角
A PC B 
为钝二面角，
所以二面角
A PC B 
的余弦值为
33
33
. ……….12 分
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