2023年4月山东省新高考联合模拟考试（济南二模）数学答案
- 1 -
山东省新高考联合模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
B
A
D
B
D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
10
11
12
答案
BC
ACD
ABD
ABD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．
3
；14．
240
；15．
(1 1)，
，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可；16．
3
．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）由题意及参考数据可得：
3x=
，
52
1
( ) 10
i
i
xx
=
−=
，
55
22
22
11
( 5 )( 5 ) 1564
ii
ii
x x y y
==
− −
，
5
1
5 17081 3 6206 1537
ii
i
x y xy
=
− = − = −
，
所以
5
1
522
22
11
51537 0.98
1564
( 5 )( 5 )
ii
i
n
ii
ii
x y xy
r
x x y y
=
==
−−
= −
−−
，
因为
y
与
x
的相关系数近似为
0.98−
，说明
y
与
x
的线性相关程度相当高，从而
可以用线性回归模型拟合
y
与
x
的关系.
（2）由
6206 1241.2
5
y==
及（1）得：
5
1
52
2
1
51537 153.7
10
5
ii
i
i
i
x y xy
b
xx
=
=
−−
= = = −
−
，
1241.2 153.7 3 1702.3a y bx= − = − − =（ ）
．
所以
y
关于
x
的回归方程为：
ˆ153.7 1702.3yx= − +
．
- 2 -
将2023 年对应的年份编号
6x=
代入回归方程得：
ˆ153.7 6 1702.3 780.1y= − + =
．
所以 我国 2023 年的新生儿数量约 780.1 万人．
18．【解析】
（1）因为
1
22
n
n
S+
=−
，所以
122
n
n n n
a S S n
−
= − = ，
，
当
1n=
时，
11
2aS==
，适合上式，所以
2n
n
a=
．
所以
22
log log 2n
nn
b a n= = =
．
（2）
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
n n n n n
T a b b b a b b b a b b b= + + + + + + + + + + + +
1 2 1 2
( )( )
nn
a a a b b b= + + + + + +
因为
1
22
n
n
S+
=−
，
2
12 12 2
n
nn
b b b n +
+ + + = + + + =
，
所以
2
12
(2 2)( ) (2 1)( )
2
nn
n
nn
T n n
++
= − = − +
．
19．【解析】
（1）因为 三棱台
ABC DEF−
是正三棱台，
M
为棱
AB
的中点，
2AB DE=
．
所以
DE MB
且
DE MB=
，所以 四边形
DMBE
为平行四边形，
所以
MD BE
且
MD BE=
，同理
NF BE
且
NF BE=
；
所以
MD NF
且
MD NF=
，所以 四边形
DMNF
为平行四边形．
取
AC
的中点为
O
，连接
AE EC OE OB， ， ，
，
因为
EA EC BA BC==，
，
所以
AC OB⊥
，
AC OE⊥
，又
OB OE O=
，
所以 直线
AC ⊥
面
BOE
，又
BE
面
BOE
，
所以
AC BE⊥
，又
MN AC
，
MD BE
，所以
MN MD⊥
，
所以 四边形
DMNF
为矩形．
（2）以
O
为原点，
OB OC，
所在直线分别为
x
轴，
y
轴建立空间直角坐标系．
设正方形
DMNF
的边长为 1，则
1 2 1DE AB BE= = =， ，
．
则
(0 1 0)A−， ，
，
( 3 0 0)B，，
，
(0 1 0)C，，
，
3 1 6
()
6 2 3
D−， ，
，
则
(0 2 0)AC =，，
，
3 1 6
()
6 2 3
AD =， ，
，
( 3 1 0)BC =− ，，
，
设平面
ACFD
的法向量为
()x y z=， ，n
，
z
y
x
O
N
M
F
E
D
A
B
C
- 3 -
由
0
0
AC
AD
=
=
n
n
，得
20
3 1 6 0
6 2 3
y
x y z
=
+ + =
，令
1z=−
，得
(2 2 0 1)=−，，n
，
设
BC
与平面
ACFD
所成的角为
，所以
| 2 6 6
sin 3
| || | 49
BC
BC
= = =
|n
n
，
所以 直线
BC
与平面
ACDF
所成角的正弦值为
6
3
．
20．【解析】
（1）延长
CG
交
AB
于点
D
，因为
G
是
ABC△
的重心，
则
D
为线段
AB
的中点，且
1
2
DG GC=
，又
0AG BG=
，
所以
GA GB⊥
，因此
1
2
DG DA c==
，
2GC DG c==
，
又因为
π
6
GAD=
，所以
3
2
AG c=
，在
AGC△
中，记
CAG
=
，
由正弦定理
sin sin
AG CG
ACG
=
，即
3
2sin
sin 6
cc
=
−
，
所以
3 1 3
sin sin cos sin
2 6 2 2
= − = −
，即
cos 2 3sin
=
，
所以
sin 3
tan cos 6
==
，即
3
tan 6
CAG=
．
（2）由（1）可知
3
2
CD c=
，在
ABC△
中，
2 2 2 2 2 2
cos 22
AC AB BC b c a
BAC AC AB bc
+ − + −
= =
，
在
ACD△
中，
22
2
2 2 2 2 2
92
44
cos 222
cc
b
AD AC DC b c
DAC c
AD AC bc
b
+−
+ − −
= = =
，
所以
2 2 2 2 2
2
2
b c a b c
bc bc
+ − −
=
，整理得
2 2 2
5a b c+=
，
在
ABC
中，
( )
22
2 2 2 24
cos 2 5 5
ab
a b c
ACB ab ab
+
+−
= =
，
当且仅当
ab=
时，等号成立；
又
( )
0πACB，
，所以
cos 1ACB
，
综上
cos ACB
的取值范围为
4
[ 1)
5，
．
C
D
A
B
G
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