2023届山东省泰安市高三一模数学试题答案

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高三数学试题参考答案第页（共 6页）

高三一轮检测

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：

题号

答案

二、选择题：

题号

答案

BCD

ABD

ACD

三、填空题：

13. 1

414. y2=8 3

3x15. 3 16. [1

4,3

4] ∪ { 13

16 }

四、解答题：

17.（10 分）

解：（1）∵ sin2A- (sin B- sin C)2= 2 sin Bsin (C+π

3) - 3 sin Bcos C

∴ sin2A- (sin2B- 2 sin Bsin C+ sin2C)

= 2 sin Bsin Ccos π

3+ 2 sin Bcos Csin π

3- 3 sin Bcos C………………… 1分

∴ sin2A- sin2B- sin2C+ 2 sin Bsin C= sinBsinC

∴ sin2A- sin2B- sin2C= -sinBsinC……………………………………… 3分

∴b2+c2-a2=bc

∴ cos A=1

∴A=π

3……………………………………………………………………… 5分

（2）

∵ 

AB· 

AC =bccosA=1

2bc=12

∴bc = 24……………………………………………………………………… 6分

又∵a2=b2+c2- 2bc cos A，

a=2 7 ,

∴(b+c)2= 3bc+28=100,

∴b+c= 10 ………………………………………………………………… 8分

联立

{

b+c= 10

bc = 24 ,解得

{

b= 6

c= 4 或

{

b= 4

c= 6，又 b<c

∴b= 4,c= 6. ……………………………………………………………… 10 分

2023

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18.（12 分）

解：（1）设等差数列

{}

an的公差为d,d> 0,

∵

S3= 12

2=a6·a6-a3

∴

a1+d= 4

(a1+ 2d)2= (a1+ 5d)· 3d

……………………………………………… 2分

整理得，

5d2- 2d- 16 = 0 …………………………………………………… 4分

解得，d= 2或d= - 8

5(舍)

∴a1=d= 2

∴an= 2n,n∈N*……………………………………………………………… 6分

（2）由（1）知,an= 2n,Sn=n2+n

∴an+ 2Sn= 2n2+ 4n= 2n(n+ 2 ) ………………………………………… 8分

∴1

an+ 2Sn

2n(n+ 2 ) =1

4(1

n-1

n+ 2 )……………………………… 10 分

∴1

a1+ 2S1

a2+ 2S2

+ … + 1

an+ 2Sn

4[(1 - 1

3) + ( 1

2-1

4) + ( 1

3-1

5) + … + ( 1

n- 1 -1

n+ 1 ) + ( 1

n-1

n+ 2 ) ]

4(1 + 1

2-1

n+ 1 -1

n+ 2 )

8-2n+ 3

4(n+ 1 )(n+ 2 ) ……………………………………………………… 12 分

19.（12 分）

解：（1）取线段 AD 中点 R，

RD 的中点 K，连接 GR,PK,QK

∵EG 1

2AD

∴E,A,D,G四点共面,且EG AR,

∴ARGE为平行四边形,

∴GR ∥AE

又∵GP =PD,RK =KD

∴PK ∥GR

∴PK ∥AE………………………… 2分

∵BQ = 3QC,AK = 3KD

∴AB ∥QK

∴AD ⊥QK

又∵AD ⊥PQ，

PQ,QK⊂平面PQK,PQ∩QK=Q

∥

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∴AD ⊥平面PQK …………………………………………………………… 4分

又∵PK ⊂平面PQK

∴AD ⊥PK

∴AE ⊥AD

又∵AE ⊥AB ,AB,AD ⊂平面ABCD,AB ∩AD =A

∴AE ⊥平面ABCD …………………………………………………………… 6分

（2）设 H到平面 ABCD 的距离为 h,则三棱锥A-CDH的体积为

VA - CDH =VH - ACD =1

3×S△ACD ×h= 6h= 18

∴h= 3

又∵G到平面ABCD的距离为6

∴H为GC的中点

由（1）知，

AE ⊥平面ABCD，以 A原点,AB,AD,AE

所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系,则

A(0,0,0 ),C(6,6,0 ), D(0,6,0 ),H(3, 9

2,3 )，

∴ 

AH = (3, 9

2,3 ),  

AD = (0,6,0 ),  

AC = (6,6,0 ) ………………………………… 8分

设平面ACH的一个法向量为m= ( x1,y1,z1), 则ì

m· 

AH = 0

m· 

AC = 0

∴

3x1+9

2y1+ 3z1= 0

6x1+ 6y1= 0

取x1= 2，解得 ì

y1= -2

z1= 1

∴m=(2,-2,1) ………………………………………………………………… 10 分

设平面 ADH 的一个法向量为 n= ( x2, y2,z2)，则ì

n· 

AH = 0

n· 

AD = 0

∴

3x2+9

2y2+ 3z2= 0

6y2= 0

取x2= 1，解得 ì

y2= 0

z2= -1

∴n= (1,0, - 1)

∴ cos m,n=m⋅n

n=1

3 × 2 =2

6，

∴平面ACH与平面ADH夹角的余弦值为 2

6.…………………………… 12 分

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