2023届山东省实验中学高三第一次模拟考试 数学答案

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数学参考答案 第 1 页 共 6 页
山东省实验中学 2023 届高三第一次模拟考试
数学参考答案 2023.5
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
C
B
B
C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号
9
10
11
答案
AB
ABC
ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．16 14．1（答案不唯一，2,3均可） 15. 2 16．
5π
π,3



四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解析】
（1）因为
22
18
nn
S S n

，当
2n
时，
 
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1n n n
S S S S S S
 
 
8 1 8 1 1n  
 
8 1 2 3 1 1n  


( 1)
81
2
nn
 
 
2
21n
，
因为
0
n
a
，所以
0
n
S
，故
21
n
Sn
． ………………………… 3分
当
1n
时，
11
1Sa
适合上式，
所以
21
n
Sn
，
Nn
. ………………………… 5分
（2）因为
21
n
Sn
，
Nn
，
所以当
2n
时，
 
12 1 2 3 2
n n n
a S S n n
 
．
所以
1 1,
2 2.
n
n
an
，
，
………………………… 7 分
所以数列
 
n
b
：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设
( 1)
1 2 20
2
nn
n
  ≤
，则
5n≤
，
所以
 
n
b
的前 20 项是由 6个1与14 个2组成．
所以
20 6 1 14 2 34T  
. ………………………… 10 分
数学参考答案 第 2 页 共 6 页
18．【解析】
（1）证明：取
AC
的中点
M
，连接
MB MP，
，
在
PAC△
中，
PA PC
，
MA MC
，
MP AC
，
同理可在
ABC△
中，
AB BC
，
MA MC
，
MB AC
，且
MP MB M
，
AC
平面
PMB
，
又
PB
平面
PMB
，
PB AC
………………………… 4分
（2）因为平面
PCD
平面 ABCD，交线为 CD，又
90ABC
，
//AB CD
，
所以
BC CD
，
BC
平面 ABCD，
所以
BC
面PCD，
PC
面PCD，所以
BC PC
，
故
PCD
为二面角
P BC D
的平面角，
45PCD  
，………………………… 6分
以
B
为原点，以
BC
为x轴，以
BA
为y轴，建立如图所示的坐标系，
则
(2,2,2)P
，
(0,2,0)A
，
(2,0,0)C
，
(2,1,0)D
设平面 PAD 的一个法向量为
( , , )x y zn
，
0 2 0
20
0
DP y z
xy
AD
 



n
n
，
令
1x
，得
(1,2, 1)n
……………… 9分
又
(2,2,2)BP
， 所以直线
BP
与平面 PAD 所成角
的正弦值为
|2
sin | cos , | 3
| | | |
| BP
BP BP
 
n
nn
. ………………………… 12 分
19．【解析】
（1）由直方图可知成绩在
[30,40]
，
(40,50]
，
(50,60]
，
(60,70]
的学生频率和为
0.06 0.12 0.18 0.34 0.7  
，
所以抽取的 100 名学生成绩的第 80 百分位数在
(70,80]
内，
设第 80 百分位数为
x
，则
( 70) 0.016 0.1 76.25xx  
，
即第 80 百分位数为 76.25． ………………………… 2分
（2）由频率分布直方图可得：
竞赛成绩在
(40,50]
，
(50,60]
两组的频率之比为
0.12:0.18 2:3
，
所以 10 人中竞赛成绩在
(40,50]
的人数为
4
10 4
10

人；在
(50,60]
的人数为
6
10 6
10

人；
则
X
所有可能的取值为
0,1,2,3
， ………………………… 3分
数学参考答案 第 3 页 共 6 页
3
6
3
10
C20 1
( 0) C 120 6
PX  
；
21
64
3
10
CC 60 1
( 1) C 120 2
PX 
；
12
64
3
10
CC 36 3
( 2) C 120 10
PX 
；
3
4
3
10
C41
C 120 30
( 3)P X  
；
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
6
1
2
3
10
1
30
 
1 1 3 1 6
0 1 2 3
6 2 10 30 5
EX  
. ………………………… 8分
（3）用频率估计概率，竞赛成绩在
[30,40]
内的概率
0.06 1
0.06 0.12 3
p
；则
 
20
20 20 20
20 20 20
C2
12
( ) C 1 C ( ) ( )
3 3 3
kk
k
k k k k k
P k p p
 
，………………………… 9分
1 19
20 20
20
20 20
20!
C2
( 1) 1 1 20 1 21
( 1)!(19 )!
3( 1 )
20!
C2
( ) 2 2 1 2 1
!(20 )!
3
kk
kk
P k k
kk
P k k k
kk



   

.
令
( 1) 1 21
( 1 ) 1
( ) 2 1
Pk
P k k
  ≥
，解得
6k≤
， ………………………… 11 分
所以当
6k
或
7k
，
()Pk
最大 ………………………… 12 分
20．【解析】
（1）在
ACD
中，
2 2 2 2 cos120 49AC AD DC AD DC  
，所以
7AC
，
由正弦定理，
sin sin
sin sin
a b A C a c
c A B a b
 


，可得
2 2 2
b a c ac  
，
再由余弦定理，
1
cos 2
B
，又
(0, )B
，所以
3
B
. ………………………… 3 分
因为
120ADC  
，所以
180ABC ADC  
，所以 A，B，C，D四点共圆，
则四边形 ABCD 的外接圆半径就等于
ABC
外接圆的半径.
又
7 14 3
2sin 3
3
2
b
RB
 
，所以
73
3
R
. ………………………… 5分
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