2023届辽宁省实验中学高三第五次模拟考试 数学答案

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辽宁省实验中学 2023 届高三第五次模拟考试
数学试卷答案
一、单选题：1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A
二、多选题：9．AC 10． BD 11．BCD 12．BCD
三、填空题：13．
36
125
14．
44
n
n
15．
12
2
16．
4
3
四、解答题：
17.（1）依题意可知
3
2 sin sin sin 2
3
3 cos cos cos cos cos cos
A B C
A B A B A B
  
，
∴
3 1 1
cos cos (cos( ) cos( )) ( cos cos( ))
4 2 2
A B A B A B C A B    
，∴
3
cos( ) cos
2
A B C  
，
又∵
3
sin 2
C
，∴
，∴
cos( ) 2AB
（舍去）或 1，∴
1
cos 2
C
，且
0AB
，
∴
2,
36
C A B
 
，∴
3
tan 3
A
。
（2）不妨取
3AC BC
，∴
2CD
，∴
22 1
3 2 2 ( ) 2 3= 19
2
AD  
，
∴
4 19 9 7
cos 19
38
4 19
ADC 
 
。
18.（1）依题意变量 X可取值为 3，4，5，6，7，9，其对应的概率分别为：
( 3) 0.3 0.3 0.09PX 
，
1
2
( 4) 0.2 0.3 0.12P X C 
，
( 5) 0.2 0.2 0.04PX 
，
1
2
( 6) 0.5 0.3 0.3P X C 
，
1
2
( 7) 0.5 0.2 0.2P X C 
，
( 9) 0.5 0.5 0.25PX 
。
∴X 的分布列为：
X
3
4
5
6
7
9
P
0.09
0.12
0.04
0.3
0.2
0.25
∴X的期望为
( ) 0.09 3+0.12 4+0.04 5+0.3 6+0.2 7+0.25 9=6.4EX    
分。
（2）取事件
A
为陈涛取得进球或者助攻，则
A
为未进球或助攻，∴
30
( ) 0.75
40
PA
，
∴
( ) 1 0.75 0.25PA 
，事件
B
为中国队获胜，则
( | ) 0.8P B A
，
( | ) 0.2P B A
，
∴
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0.2 0.25 0.8 0.75 0.65P B P B A P A P B A P A  
，
∴
( ) 1 0.65 0.35PB  
，又∵
( ) ( | ) ( ) (1 0.8) 0.75 0.15P AB P B A P A  
，
∴
( ) 3
( | ) ( ) 7
P AB
P A B PB

，即在中国队输给德国队的前提下，陈涛进球或助攻的概率为
3
7
。
19.（1）依题意
2 3 4 5
79
33 4 3 4
34 3 1 4 7 9 11
67
41, , ,
3 7 9
7 1 6 7 8
7 7 7
4 6 7
a a a a
   
 
     
 
，
猜测
21
3
n
n
an
，以下用数学归纳法证明。
证明：已知
1,2,3,4,5n
时
21
3
n
n
an
成立
假设
()n k k N

时，
21
3
k
k
ak
成立，则
1
21
34
34 2 3 2( 1) 1
3
21
7 4 ( 1) 3
73
k
n
k
k
akk
k
ak
a k k
k

 
 
 
，亦符
合猜想，综上，
21
3
n
n
an
成立。
（2） 取
5 1.1
1.1 (2 ) 3
n
n
nn
ba
n
， ∴
1
15 1.1 5 1.1 0.5 1.1 ( 7)
4 3 ( 3)( 4)
n n n
nn
b b n
n n n n
 
 
 
， ∴ 当
1,2,3,4,5,6n
时，
1nn
bb
，当
8,9,10,...n
时，
1nn
bb
，∴
7
78
11.1
2
bb  
为数列
{}
n
b
的最小项，
所以
k
的取值范围为
7
1
( , 1.1 )
2
 
。
20.（1）
F
为靠近点
D
的三等分点，或
4FD
。
（2）∵翻折前
2 , 2DF AE DC AB
，∴将
,,DA FE CB
延长一倍，三线交予点
O
，已知等腰直角三角形
ODF
中
DE OF
，∴
''A BE D CF
中
'D E OF
，又 ∵二面角
'A EF B
为直二面角，∴
'DE
面
EFC
。∴三棱锥
'D OFC
的体积为
'1 1 1 1 32
' 2 2 8 4 2
3 2 3 2 3
D OFC
V D E FC OD
 
，
又 ∵ 三 棱 锥
'A OBE
的 体 积
''
14
2
83
A OBE D OFC
VV


， ∴ 棱台
''A BE D CF
的 体 积 为
'' 32 4 28
2 2 2
3 3 3
A BE D CF
V  
。在线段
DC
上取
2DG
，∴
AE DG
，∴四边形
AEGD
为平行四
边形，∴
AD EG
，∴
EG EB
，又∵
'DE
面
EFC
，∴
' , 'D E EB D E EG
。以
E
为原点，以
'
,,
222
EG EB ED
B
为
,,x y z
的单位向量建立空间直角坐标系，其中各点坐标分别为
( 2, 2,0), '(0,0,2 2), (0,4,0), (0,0,0)O D B E
，∴
' (2,2,2 2), (2,6,0),OD OB
(2,2,0), ' (0,0,2 2)OE ED
。取面
'OD B
的法向量为
1( , , )n a b c
，
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