江西省宜丰中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试+数学+PDF版含答案

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1
2023—2024（上）江西省宜丰中学 11 月高三期中考试数学试卷
一、单选题（40 分）
1．已知集合
 
| 1A x x 
，
 
2
| log 1B x x 
，则（ ）
A．
 
| 1A B x x 
B．
A B R
C．
 
| 1A B x x U
D．
 
| 0 1A B x x  
2．已知等差数列
 
n
a
的前
项和为
n
S
，若
954S
，
11 12 13 27a a a 
，则
16
S
（　　）
A．120 B．60 C．160 D．80
3．“
1
sin 2
”是“
1
cos2 2
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若
0m
，双曲线
1
C
：
2 2
1
2
x y
m 
与双曲线
2
C
：
2 2
1
8
x y
m
 
的离心率分别为
1
e
，
2
e
，则（ ）
A．
1 2
e e
的最小值为
9
4
B．
1 2
e e
的最小值为
3
2
C．
1 2
e e
的最大值为
9
4
D．
1 2
e e
的最大值为
3
2
5．已知向量
,a b
 
满足
2a b 
 
，且
 
3, 4b 
，则向量
a
在向量
b
上的投影向量为（ ）
A．
6 8
( , )
5 5
B．
( , )6 8
5 5
C．
6 8
,
25 25
 
 
 
D．
6 8
,
25 25
 
 
 
6．已知双曲线 C：
 
2 2
2 2 1 0, 0
x y a b
a b
 
的左､右焦点分别为
1
F
，
2
F
，M，N为双曲线一条渐近线上
的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形
1 2
MF NF
为矩形，且
3π
4
MAN 
，则双曲线 C的离心率为
（ ）
A．
13
B．
5
C．
21
3
D．
3
7．如图，在四面体
ABCD
中，截面
PQMN
是正方形，则下列说法中错误的为（ ）
A．
AC BD
B．
/ /AC
截面
PQMN
C．
AC BD
D．异面直线
PM
与
BD
所成的角为 45°
8．已知函数
 
f x
是定义在
R
上的奇函数，
当
0x
时，
( ) e ( 1)
x
f x x 
，则下列结论中正确的个数是（ ）
①当
0x
时，
( ) e ( 1)
x
f x x
 
②函数
 
f x
有3个零点
③
 
0f x
的解集为
 
, 1 0,1 
④
1 2
, Rx x 
，都有
 
1 2 2f x f x 
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、多选题（20 分）
9．已知直线
1 2
: 3 1 0, : 2 0l ax y l x by  
，则（ ）
A．若
1 2
l l
，则
3
a
b 
B．若
1 2
l l//
，则
3ab
C．若
1
l
与坐标轴围成的三角形面积为 1，则
1
6
a 
D．当
0b
时，
不经过第一象限
10．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了 400
名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50 分至 100
分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出
频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（
）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间
90,100
内的学生有 160 人
B．图中
的值为 0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为 86.7
D．估计全校学生成绩的 80%分位数为 95
11．已知
( ) 3 sin(2 ) cos(2 ) 2
f x x x
 
 
 
 
 
是偶函数，将函数
 
f x
图像上所有点向右平移
6
个
单位得到函数
 
g x
的图像，则（ ）
A．
 
g x
在
,
6 3
 
 
 
 
的值域为
 
1,1
B．
 
y g x
的图像关于直线
7
6
x
对称
C．
 
g x
在
23
,
12 12
 
 
 
有5个零点 D．
 
y g x
的图像关于点
5,0
12
 
 
 
对称
12．过抛物线 C：
22x py
（
0p
）的焦点 F的直线与抛物线 C相交于 A，B两点，以 A，B为切点
作抛物线 C的两条切线
1
l
，
，设
1
l
，
的交点为 M，称△AMB 为阿基米德三角形.则关于阿基米德三
角形 AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB 是直角三角形 B．顶点 M的轨迹是抛物线 C的准线
C．MF 是△AMB 的高线 D．△AMB 面积的最小值为
2
2p
三、填空题（20 分）
13．在
5
21
2xx
 
 
 
的二项展开式中，
7
x
的系数为 .
14．写出过点
()
1, 2-
且与圆
2 2
: 4O x y 
相切的直线方程 .
15．过点
 
, 2P m
向抛物线
² 4x y
引两条切线
,PA PB
，切点分别为 A，B，直线
AB
恒过的定点为
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2
.
16．今年是我校建校 100 周年，也是同学们在宜丰中学的最
后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一
年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚
“NK
章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜丰中学的某角落，并为
这
“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子
上的一道
“数学谜语”中：
在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数
 
3 2
13 1
2
f x x x x  
的图象中，过点
 
6,P a
与曲线
 
y f x
相切的直线恰有三条，这三条切线勾
勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数
的个数，这就是打开盒子的密
码： .
朱毛组合
四、解答题（70 分）
17．
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
，
，
c
，已知
cos cos2a b bB A c  
．
(1)求
tan A
；
(2)若
17a
，
ABC
的面积为
2 2
，求
ABC
的周长．
18．已知数列
 
n
a
的前 n项和
21
n
S n 
．
(1)求
n
a
；
(2)令
2
1
1
n
n
ba
，若对于任意
*
Nn
，数列
 
n
b
的前 n项和
n
T m
恒成立，求实数 m的取值范围．
19．如图，四棱锥
-P ABCD
中，底面 ABCD 为等腰梯形，
AB CD∥
，
1
2
AD DC AB 
，且平面
PAD
平面 ABCD，
PD AD
.
(1)求证：
BD PA
；
(2)
PB
与平面
ABCD
所成的角为
30
，求二面角
- -A PB C
的余弦值.
20．2023 年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的
创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的
影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年 1~4 月份接到的订单数量.
月份 t
1
2
3
4
订单数量 y（万件）
5.2
5.3
5.7
5.8
(1)试根据样本相关系数 r的值判断订单数量 y与月份 t的线性相关性强弱（
0.75 | | 1r 
，则认为 y与t
的线性相关性较强，
| | 0.75r
，则认为 y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立 y关于 t的线性回归方程，并预测该企业 5月份接到的订单数量.
附：相关系数，
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
 
 
 
 
1.3 1.14
回归方程
ˆ
ˆ
y a bx 
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
 
，
ˆ
a y bx
，.
21．已知函数
 
11 ln 0f x ax a x a
x
 
．
(1)讨论函数
 
f x
的单调性；
(2)若
 
f x
既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为
 
g a
．解不等式
 
2 2g a a 
．
22．已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
的离心率为
10
5
，过 C的右焦点 F的直线 l交椭圆于 A，B两点，
当l垂直于 x轴时，
6 5
5
AB
．
(1)求C的方程；
(2)若点 M满足
0MA MB 
 
，过点 M作AB 的垂线与 x轴和 y轴分别交于 D，
E两点．记
MFD△
，
OED
（O为坐标原点）的面积分别为
1
S
，
2
S
，求
1 2
2 1
S S
S S
的取值范围．
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