江西省宜春市宜丰中学创新部2024届高三上学期10月月考试题+数学+PDF版含解析

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1
2023-2024（上）创新部高三第一次月考数学试卷
一、单选题（40 分）
1．集合
 
2
| 6 0A x x x  
，集合
 
2
| lo 1gB x x 
，则
A B 
（ ）
A．
 
2,3
B．
 
,3
C．
 
2, 2
D．
2．已知 a为实数，若复数
 
 
21 1 iz a a  
为纯虚数，则
2024
i
1 i
a
的值为（ ）
A．1 B．0 C．
1 i
D．
1 i
3．数列
 
n
a
满足
1
1
2 ,0 2
1
2 1, 1
2
n n
n
n n
a a
a
a a
 
 
，若
1
2
5
a
，则
2023
a
等于（ ）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
4．若六位老师前去某三位学生（同学 1，同学 2，同学 3）家中家访，每一位学生至少有一位老师
家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位同学，由于就近考虑，老师甲不去家访同学 1，则
有（ ）种安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
5．函数
2
( ) cos ln( 1 )f x x x x  
的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
6．已知函数
21 1
( ) sin sin ( 0)
2 2 2
x
f x x
 
 
，
x R
.若
( )f x
在区间
( , 2 )
 
内没有零点，则
的取
值范围是（ ）
A．
1
0, 8
 
 
B．
1 5
0, ,1
4 8
 
 
 
 
C．
5
0, 8
 
 
D．
1 1 5
0, ,
8 4 8
 
 
 
7．已知
,A B
是圆
2 2
( ): 2 1M x y  
上不同的两个动点，
| | 2,AB O
为坐标原点，则
| |OA OB
 
的取
值范围是（ ）
A．
[2 2, 4 2] 
B．
[3 2, 4 2] 
C．
[4 2, 4 2] 
D．
[2 2, 2 2] 
8．已知双曲线
 
2 2
2 2
: 1 0, 0
x y
W a b
a b
 
的右焦点
F
，过原点的直线
l
与双曲线
W
的左、右两支分
别交于
A
、
B
两点，以
AB
为直径的圆过点
F
，延长
BF
交右支于
C
点，若
2CF FB
，则双曲线
W
的渐近线方程是（ ）
A．
2 2
3
y x 
B．
3 2
4
y x 
C．
2 2y x 
D．
3y x 
二、多选题(20 分)
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若
a b
，且
1 1
a b
，则
0ab
B．若
0a b 
，则
2 2
a ab b 
C．若
0c a b  
，则
a b
c a c b
 
D．若
0abc  
，则
a a c
b b c
10．已知函数
的定义域为
R
，函数
的图象关于点
 
1,0
对称，且满足
 
3 1f x f x 
，
则下列结论正确的是（ ）
A．函数
 
1f x
是奇函数 B．函数
的图象关于
y
轴对称
C．函数
是最小正周期为 2的周期函数
D．若函数
 
g x
满足
 
3 2g x f x  
，则
 
2024
1
4048
k
g k
11．如图，直角梯形
ABCD
中，
//AB CD
，
AB BC
，
12
2
BC CD AB 
，
E
为
AB
中点，以
DE
为折痕把
ADEV
折起，使点
A
到达点
P
的位置，且
2 3PC
.则下列说法正确的有（ ）
A．
CD
平面
EDP
B．四棱锥
P EBCD
外接球的体积为
4 3π
C．二面角
P CD B 
的大小为
π
4
D．
PC
与平面
EDP
所成角的正切值为
2
12．已知直线
与曲线
ex
x
y
相交于
A
，
B
两点，与曲线
ln x
yx
相交于
B
，
C
两点，
A
，
B
，
C
的横坐标分别为
1
x
，
2
x
，
3
x
.则（ ）
A．
2
2ex
x a
B．
2 1
lnx x
C．
2
3ex
x
D．
1 3 2
2x x x 
三、填空题(20 分)
13．
5
2
( )xx
的展开式中含
x
项的系数为 .
14．如图 1是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的正
四棱台部分的直观图如图 2所示，则该正四棱台部分
的体积为
3
m
.
15．已知函数
 
2
sin
x
f x a x x x  
（
0a
，且
1a
），
曲线
 
y f x
在点
 
 
0, 0f
处的切线与直线
2 2 9 0x y  
平行，则
a
.
16．双曲线
 
2 2
2 2
: 1 , 0
x y
C a b
a b
 
的左焦点为 F，直线
FD
与双曲线 C的右支交于点 D，A，B为线
段
FD
的两个三等分点，且
2
2
OA OB a 
（O为坐标原点），则双曲线 C的离心率为 .
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2
四、解答题（70 分）
17．在
ABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，已知
π
sin sin 0
3
b C c B
 
 
 
 
.
(1)求角
C
的值；
(2)若
ABC
的面积为
，
D
为
AC
的中点，求
BD
的最小值.
18．已知数列
 
n
a
中，
10a
，
 
12
n n
a a n n N
  
.
（1）令
11
n n n
b a a
 
，求证：数列
 
n
b
是等比数列；
（2）令
3
n
nn
a
c
，当
n
c
取得最大值时，求
n
的值．
19．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有
A
、
B
、
C
三位员工参加比赛，比赛规则为：
先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题
中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独
立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得
20
分，否则得
0
分；乙类问题中每
个问题回答正确得
80
分，否则得
0
分．已知
A
员工能正确回答甲类问题的概率为
0.5
，能正确回答乙
类问题的概率为
0.6
；
B
员工能正确回答甲类问题的概率为
0.6
，能正确回答乙类问题的概率为
0.5
；
C
员工能正确回答甲类问题的概率为
0.4
，能正确回答乙类问题的概率为
0.75
．
(1)求
3
人得分之和为
20
分的概率；
(2)设随机变量
X
为
3
人中得分为
100
的人数，求随机变量
X
的数学期望．
20．已知直三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
中，侧面
1 1
AA B B
为正方形，
2AB BC 
，
E
，
F
分别为
AC
和
1
CC
的中点，
D
为棱
1 1
A B
上的点，
1 1
BF A B
．
(1)证明：
BF DE
；
(2)当
1
B D
为何值时，面
1 1
BB C C
与面
DFE
所成的二面角的正弦值最大？
21．已知函数
( ) cos ( ).
x
f x ae x x a R  
（1）若
1a
，证明：
( ) 0f x
；
（2）若
( )f x
在
(0, )
上有两个极值点，求实数 a的取值范围.
22．已知椭圆
 
2 2
2 2
: 1 0
x y
C a b
a b
 
的离心率为
3
2
，左、右顶点分别为 A，B，点 P，Q为椭圆上
异于 A，B的两个动点，
PAB
面积的最大值为 2.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设直线
AP
，
BQ
的斜率分别为
1
k
，
2
k
，
APQ△
和
BPQV
的面积分别为
1
S
，
2
S
.若
1 2
3k k
，求
1 2
S S
的最大值.
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