江西省宜春市上高二中2024届高三上学期第一次月考试题+数学+含答案

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2024 届高三年级第一次月考数学试卷
命题人：叶民安
一、单选题（每小题 5分，共 40 分）
1．已知集合 ， ，则 （）
A．B．C．D．
2 “．命题 ”的否定是（）
A．B．
C．D．
3．已知命题 p“：”，命题 q“： 直线 与直线 ”垂直 ，则命题 p是命
题q的（）
A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．已知函数 的定义域是 R，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．在 上定义运算： ，若不等式 对任意实数 x恒成立，则
实数 a的最小值为（）
A．B．C．D．
6．在 中，若 ，则 为（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．已知椭圆 E： 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，若以
为直径的圆与椭圆 E在第一象限交于点 P，且 是等边三角形，则椭圆 E的离心
率为（）
A．B．C．D．
8．已知函数 ， ，对任意的 ，都有
成立，则实数 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、多选题（每小题 5分，共 20 分）
9．（多选）已知 a，b， ，且 ，则下列不等关系成立的是（）
A．B．
C．D．
10．不等式 的解集可能为（）
A．R B．
C．D．
11．下面命题正确的是（）
A．不等式 的解集为
B．不等式 的解集为
C．不等式 在 时恒成立，则实数 m的取值范围为
D．函数 在区间 内仅有一个零点，则实数 m的取值范围为
12．如图，在正方体 中，点 为线段 上一
动点，则下列说法正确的是（）
A．直线 平面
B．存在点 ，使得直线 与 所成角为 30°
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 与底面 的交线平行于直线
三、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13．不等式 的解集为．
14．已知不等式 的解集为 ，若函数 （
且 ），则 ．
15．已知随机变量 ， ，且 ， ，则
．
16．双曲线 ： 其左、右焦点分别为 、 ，倾斜角为 的直线 与
双曲线 在第一象限交于点 ，设双曲线 右顶点为 ，若 ，则双曲线 的
离心率的取值范围为．
四、解答题（共 70 分）
17．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求角 A的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
18．正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
19．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
，点 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)设 的中点为 ，点 在棱 上（异于点 ， ，且
，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成
立了 两个研究性小组，分别设计和开发不同的 AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研
究性小组的 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为 .为测试 软件的识别能力，
计划采取两种测试方案.
方案一：将 100 首音乐随机分配给 两个小组识别，每首音乐只被一个 软件识别一次，
并记录结果；
方案二：对同一首歌， 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则
称该次测试通过.
(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的 ；在正确识别的音乐数中，
组占 ；在错误识别的音乐数中， 组占 .
（i）请根据以上数据填写下面的 列联表，并通过独立性检验分析，是否有 的把握
认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？
正确识别 错误识别 合计
A组软
件
B组软
件
合计 100
（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；
(2)研究性小组为了验证 软件的有效性，需多次执行方案二，假设 ，问该测试
至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为 16？并求此时 的值.
附： ，其中 .
0.100 0.05
00.010 0.00
50.001
2.706 3.84
16.635 7.87
910.828
21．对于椭圆： ，我们称双曲线： 为其伴随双曲线．已知
椭圆 （ ），它的离心率是其伴随双曲线 离心率的 倍．
(1)求椭圆 伴随双曲线 的方程；
(2)如图，点 ， 分别为 的下顶点和上焦点，过 的直线 与 上支交于 ， 两点，
设 的面积为 ， （其中 为坐标原点）．若 的面积为 ，求
．
22．已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 m，n；
(2)若 在 上恰有两个不同的零点，求实数 m的取值范围.
2024 届高三年级第一次月考数学试卷答案
BBACA CDA
9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ACD
13．14．6 15．0.2/ 16．
17．(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算可得.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ， ， ，
由余弦定理 ，即，解得 或 ，
当时 ，则 为钝角，不符合题意，
当时 ，所以 为锐角，符合题意，
所以 面积为 .
18．(1) (2)
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，然后根据已知条件列方程组可求出，从而
可求出数列的通项公式，
（2）由（1）得 ，再利用错位相减法可求得结果.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
因为 ，所以 ， 相减得 ，所以 ，
代入 ，得 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 所以 .
（2）由已知得， ，
，
所以 ，
两个等式相减得 ，
所以 .
19．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，由面面垂直的性质可得 平面
，则 ，所以由线面垂直的判定可得 平面 ，从而可得结论；
（2）以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为 ，点 是 的中点，所以 .
因为 平面 平面 ，所以平面 平面 ，
因为四边形 为矩形，所以 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
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