江西省宜春市宜丰中学2024届高三上学期12月月考 数学答案

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江西省宜丰县 2023-2024（上）创新部高三 12 月考试数学试卷
一、单选题（40 分）
1. 已知
 
2, 1, 0,1, 2M 
，
 
2
| ln( 3 )N x y x x  
则
M N 
（ ）
A.
 
2, 1,0 
B.
 
2, 1 
C.
 
0,1, 2
D.
 
1, 2,3
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合 N，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：由
23 0x x 
，得
3x
或
，则
| 0N x x 
或
3x
，
又
 
2, 1, 0,1, 2M 
，所以
M N 
 
2, 1 
，
故选：B
2. 已知向量
 
4, 3 , ,1a b m 
 
，且夹角的余弦值为
3
5
-
，则
m
（ ）
A. 0 B.
1
C. 0 或
24
7
D.
24
7
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.
【详解】由已知
2 2 2
( 4) ( 3) 5, 1, 4 3a b m a b m  
 
，所以
2
4 3 3
cos , 5
5 1
a b m
a b
m
a b
 
 
 
r r
r r
r r
，即
2
4 3 3 1 0m m  
，故
3
4
m 
，且
2 2
16 24 9 9 9m m m  
，解得
0m
或
24
7
（舍去），所以
0m
故选：A
3. 若
3
cos( )
4 5
 
，则
sin 2
A.
7
25
B.
1
5
C.
1
5
D.
7
25
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：
2
23 7
cos 2 2cos 1 2 1
4 4 5 25
 
 
 
   
   
   
 
   
 
，
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且
cos 2 cos 2 sin 2
4 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，故选 D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
4. 数列
 
n
a
满足
12 sin 1
2
n n
n
a a n
 
 
 
 
，
*
Nn
，则数列
 
n
a
的前 80 项和为（ ）
A. 1640 B. 1680 C. 2100 D. 2120
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.
【详解】设
( ) 2 sin 1
2
n
f n
 
，因为
sin 2
n
的周期为
24
2
，
所以
( ) 2 sin 1
2
n
f n
 
的周期为
2T
.
又
(1) 1f
，
(2) 1f 
，所以当 n为奇数时，
( ) 1f n
，
所以当 n为偶数时，
( ) 1f n  
.
又
1( )
n n
a f n a n
 
，所以
2 1 1a a 
，
3 2 1
2 1a a a   
，
4 3 1
3 4a a a  
，于是得到
1 2 3 4 6a a a a  
，同理可求出
5 6 7 8 14a a a a  
，
9 10 11 12 22a a a a  
…，
设
4 3 4 2 4 1 4n n n n n
b a a a a
 
 
，则数列
 
n
b
是以 6为首项，8为
公差的等差数列，所以数列
 
n
a
的前 80 项和为数列
 
n
b
的前 20 项和
20 19 8
20 6 1640
2
 
 
.故B，C，D错误.
故选：A.
5. 正四面体
ABCD
的棱长为 1，点
P
是该正四面体内切球球面上的动点，当
PA PD
 
取得最小值时，点
P
到
AD
的距离为（ ）
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A.
3 2 6
12
B.
6 3
12
C.
2 2 3
12
D.
2
4
【答案】A
【解析】
【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取
AD
的中点为
E
，
21
4
PA PD PE 
 
，可得当
PE
的长度最小时，
PA PD
 
取得最小值，求出球心
O
到点
E
的距离
d
，可得点
P
到
AD
的距离为
d r
.
【详解】因为四面体
ABCD
是棱长为 1的正四面体，
所以其体积为
1 1 3 6 2
1 1
3 2 2 3 12
  
.
设正四面体
ABCD
内切球的半径为
r
，
则
1 1 3 2
4 1 1
3 2 2 12
r   
，得
6
12
r
.
如图，取
AD
的中点为
E
，则
( ) ( )PA PD PE EA PE ED 
   
2 2 1
( ) 4
PE PE EA ED EA ED PE   
 
.
显然，当
PE
的长度最小时，
PA PD
 
取得最小值.
设正四面体内切球的球心为
O
，可求得
6
4
OA OD 
.
因为球心
O
到点
E
的距离
22
2 2 6 1 2
4 2 4
d PA AE  
 
 
 
 
，
所以球
O
上的点
P
到点
E
的最小距离为
2 6 3 2 6
4 12 12
d r
 
，
即当
PA PD
 
取得最小值时，点
P
到
AD
的距离为
3 2 6
12
.
故选：A.
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