江西省宜春市上高二中2022-2023学年高二上学期第一次月考试题数学含答案

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2024 届高二年级第一次月考数学试卷

命题人：黎川审题人：谭绍敏

一、单选题

1．已知集合，，，

则集合，，的关系为（）

A．B．C．D．，

2．若，则下列式子成立的是（）

A．B．

C．D．

3 ．已知向量，满足，，，则（）

A．B．C．D．

4．已知是方程的两个根，则（）

A．B．1 C．D．2

5．已知函数是奇函数，将的图像上所有

点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若的最

小正周期为，且，则

A．B．C．D．

6．已知矩形 ABCD 中，，将沿 BD 折起至，当与 AD 所成

角最大时，三棱锥的体积等于（）

A．B．C．D．

7．直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝

120° ，则此球的表面积等于（）

A．20π B．10π C．5π D．5 π

8．对于函数和，设，若存在，使得

，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与

互为“零点相邻函数”，则实数 a的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（）

A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数 D．复数的模

10．已知一组样本数据，其中，由这组数据得到另一组

新的样本数据，，…，，其中，则（）．

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本方差相同

C．，，…，样本数据的第 30 百分位数为

D．将两组数据合成一个样本容量为 30 的新的样本数据，该样本数据的平均数为 5

11．下列选项中正确的是（）

A．若平面向量，满足，则的最大值是 5；

B．在中，，，O是的外心，则的值为 4；

C．函数的图象的对称中心坐标为

D．已知 P为内任意一点，若，则点 P为的垂心；

12．“奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一

个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为 4的正三角形钢片沿

各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（）

A．直线与平面所成的角为

B．直线平面

C．异面直线与所成的角的余弦值为

D．球上的点离球托底面的最大距离为

三、填空题

13．计算的结果为______.

14．已知正实数满足，则的最小值为___________.

15．如图，在棱长为 1的正方体中，点、是棱、的

中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线

段长度的最小值为__________.

16．已知函数的图象关于直线对称，且对都有，

当时， .则___________.

四、解答题

17．在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c，已知

(1）求的值；

(2）若，求边 c的值.

18．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4个小球，小球上

分别写有 1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中

取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字

将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于 8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两

个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之

积小于 4，则奖励饮料一瓶.

(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；

(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.

19．已知函数（，）.再从条件①、条件②、

条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：

的最大值为 1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对

称轴之间的距离为 .求：

(1)求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标；

(2)若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得

到函数的图象，若在区间上的最小值为，求 m的最大值.

20．如图，AB 是圆O的直径，点 C是圆O上异于 A，B的点，直线 PC⊥平面 ABC，E，F

分别是 PA，PC 的中点.

(1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，求证：直线 l//平面

PAC；

(2)若PC=AB=2，点 C是的中点，求二面角 E-l-C的正弦

值.

21．在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，

，．

(1)若，求；

(2)若，当面积取最小值时，求的值．

22．在三棱锥中，是边长为 2的等边三角形，，，平面

平面，为线段的中点.

(1)证明：.

(2)在直线 BC 上是否存在点，使得直线 AF 与平面 ABP 所成角

的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2024 届高二年级第一次月考数学试卷答案

BADBC CAB

9.BD 10.BC 11.ABD 12.ACD

13. 【答案】 14. 【答案】8 15. 【答案】 16. 【答案】

17. 【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化

简，并根据 sinA 的值不为 0，即可求出 cosA 的值；

（2）由第一问求出的 cosA 的值及A的范围，利用特殊角的三角函数值求出 A的度数，进而得

出B+C 的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整

理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出 sin（B+ ）的值，由 A的度数求出 B+ 的

范围，利用特殊角的三角函数值得出 B的度数，根据锐角三角函数定义即可求出 c的值．

【详解】（1）由及正弦定理得

即

又所以有即

而，所以

(2）由及0＜A＜，得 A＝因此

由得

即，即得

由知于是或

所以，或

若则在直角△ABC 中，，解得

若在直角△ABC 中，解得

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵

活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

18. 【答案】(1)

(2)每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率，理由见解析

【分析】（1）根据古典概型的方法，列举所有可能的情况，再分析满足条件的情况求解即可；

（2）分别列举事件的样本点，求出概率再比较大小即可.

（1）

样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），

（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），

（4，4）}共16 个样本点.

记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有（3，3），（3，4），（4，3），

（4，4）共 4个.

故每对亲子获得飞机玩具的概率为

（2）

同（1），记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.

事件B包含的样本点有

（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（4，1），（4，2）共 7个.

所以，

事件C包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共 5个，

所以.

所以P（B）>P（C），即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.

19. 【答案】(1) ；（）；（）

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将化为，然后根据函数

性质选择条件求出和，进而得到，再利用整体思想和正弦函数的单

调性、对称性进行求解；

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