江西省宜春市2023届高三下学期第一次模拟考试数学模考答案

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2023 届高三模拟考试数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
B
A
A
D
C
C
D
C
A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.
2 2
( 2) 4x y  
上的任意一点都可以 14.
5
12
,0
15.4044 16.③
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答。
17.(1)证明：在
ABC
中，
Bcba cos2
,
由正弦定理得
BCBA cossin2sinsin
，
又
 
πA B C 
，
因为
所以
BCBBC sincossincossin
所以
BBC sin)sin(
又
0sin B
所以
0 πC B C  
,且
CBCB
所以
B C B 
，故
2C B
.…………………………6分
(2)由（1）
2C B
得
 
3 0, πB C B 
，
所以
π
0, 3
B 
 
 
，
1
cos ,1
2
B 
 
 
，
因为
Bcba cos2
，
2C B
所以
Bb
bBc
Bb
ba
cos
2cos2
cos
3
BB
BBC
cossin
sin2cossin2
BB
BBB
cossin
sin2cos2sin2
24
cos
2
cos4 B
B
当且仅当
B
Bcos
2
cos4
即
2
2
cos B
且
π
0, 3
B 
 
 
当且仅当
4
B
时等号成立，
所以当
4
B
时，
Bb
ba
cos
3
的最小值为
24
.…………………………12 分
18．解：（1）
X
的可能取值为 0，3，6，9．
9
1
3
2
2
1
3
1
)0( XP
；
3
1
2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
3
2
2
1
3
2
)3( XP
18
7
；
3
1
2
1
3
1
3
1
2
1
3
2
3
2
2
1
3
2
)6( XP
18
7
；
9
1
3
1
2
1
3
2
)9( XP
．
所以
X
的分布列为
．
2
9
9
1
9
18
7
6
18
7
3
9
1
0)( XE
…………………………6分
（2）设“甲队和乙队得分之和为 12”为事件
A
，“甲队与乙队得分相同”为事件
B
，则
3
3
33
2
18
7
)( CAP
2
1
3
2
2
33
1
3
2
9
1
3
1
3
2
18
7
CC
=
243
76
，
81
4
3
1
3
2
18
7
)(
2
2
3
CABP
，所以
)( ABP
38
21
243
76
81
14
)(
)( AP
ABP
所以在甲队和乙队总分之和为 12 分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率
38
21
……12 分
19.（1）因为
PD
平面
ABC
,
ABCAB 平面
因为
.AB PD
因为
PABDE 平面
，
PABAB 平面
因为
.AB DE
又因为
DPDDE
因为
AB
PDE平面
，又因为
PDFPG 平面
所以
.AB PG
又由已知可得
PA PB
，
G
是
AB
的中点.…………………………6分
（2）以
P
为坐标原点，
PCPBPA ,,
所在直线分别为
zyx ,,
轴，
建立空间直角坐标系
xyzP
，不妨设
2PA
X
0
3
6
9
P
9
1
18
7
18
7
9
1
则
)0,1,1(),2,0,0(),0,2,0(),0,0,2( GCBA
易知
,PABPC 平面
又由因为
PABDE 平面
所以
DEPC //
由正三棱锥的性质可知
D
是
ABC
的重心
所以
1
2
DG
CD
所以
1
2
DG
CD
EG
PE
则
)0,
3
2
,
3
2
(E
4 2
( , , 0), ( 2,0, 2)
3 3
EA AC
-
= = -
 
设平面
EAC
的法向量
),,( zyxm
则
,022
,0
3
2
3
4
zx
yx
令
1y
得
)1,2,1(m
平面
PAC
的法向量
)0,2,0(PB
,
设平面
EAC
与平面
PAC
的夹角为
3
6
62
4
cos
PBm
PBm
所以平面
EAC
与平面
PAC
夹角的正弦值为
3
3
.…………………………12 分
20. （1）解：依题意得
则
，
，
a
a
c
226
2
1
，
，
2
4
c
a
则
12
222 cab
所以椭圆
C
的方程为
1
1216
22
yx
…………………………4分
（2）直线
1
l
：
)2(
1xky
，
，
1
1216
)2(
22
1
yx
xky
设
),(),,( 2211 yxNyxM
则
0481616)43 2
1
2
1
22
1kxkxk（
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