江西省五市九校协作体2023届第二次联考理科数学试题 答案理科数学

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1
江西省五市九校协作体 2023 届第二次联考答案理科数学
一、选择题：BBCA BADB CBCD
二． 13.
3
2
14.132 15. 2025 16.[﹣
2
2
，e]
17．【解】（1）由题意可得
 
sin sin sinADB BDC BDC
 
，因为 BD 为∠ABC 的角平分线，则
ABD CBD  
，在△ABD 中，
si n si n
AD AB
ABD ADB
 
，则
sin
sin
AD ABD
AB ADB
.............3 分
同理可得
sin
sin
CD CBD
CB BDC
，因此
...........................................................................6 分
（2）设
ABD CBD
 
，则
2ABC
 
，因为
ABC ABD CBD
S S S 
 
即
1 1 1
sin 2 sin sin
2 2 2
a c c BD a BD
 
 
..........................................................................8 分
又
2BD
且
2 6c a 
，可得
sin 2 sin 2sin cos
 
 
，因为
0 2
 
 
，则
02
 
，则
sin 0
，
cos 0
，
可得
1
cos 2
，
3
..................................................................................................10 分
所以，
3
sin 2 2
，
1 3 9 3
3 6
2 2 2
ABC
S  
．................................................................12 分
18【解】（1）证明：在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形 ABCD 为等腰梯形，
因为
2
3
BCD
 
，则
2
3
ADC
，所以
6
BAC ACD
 
又因为
3
ABC BCD
 
，则
2
ACB ABC BAC
   
∴AC⊥BC.
因为 CF⊥平面 ABCD，AC
平面 ABCD.∴AC⊥CF
∵
BC CF C
， ∴AC⊥平面 BCF.........................................................................................4
分
因为四边形 ACFE 为矩形，则 AC∥EF，因此，EF⊥平面 BCF....................................................5
分
（2）因为 CF⊥平面 ABCD，AC⊥BC，以点 C为坐标原点，CA、CB、CF 所在直线分别为 x、y、z轴建立
如下图所示的空间直角坐标系，
在Rt△ABC
3
tan 6
BC
AC
 
，．........................6 分
则A(
3
，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(
3
，0，1)，
设点 M(t，0，1)，其中
0 3t 
设平面 MAB 的法向量为
 
1 1 1
, ,m x y z
 
3,1,0AB  
，
 
3,0,1AM t 
................7 分
由
 
3 0
3 0
m AB x y
m AM t x z
 
 


，取
1x
，可得
 
1, 3, 3m t 
....................8 分
易知平面 FCB 的一个法向量为
 
1,0,0n
，
 
2
1
cos ,
4 3
m n
m n
m n t
 
 
 
   
...........10 分
所以，当
0t
，即 M与F重合时，
cos ,m n
 
取最小值，此时平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大，
此时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角的余弦值为
7
7
.......................12 分
19．解：（1）因为 k＝2，所以控制系统中正常工作的元件个数 X的可能取值为 0，1，2，3，
2
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为
3
2
p
，所以
3
2
,3~ BX
..............1 分
所以
,
27
1
3
1
3
2
)0(
30
0
3
CXP
,
9
2
3
1
3
2
)1(
21
1
3
CXP
,
9
4
3
1
3
2
)2(
12
2
3
CXP
,
27
8
3
1
3
2
)3(
03
3
3
CXP
.......................................................2 分
所以控制系统中正常工作的元件个数 X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
27
1
9
2
9
4
27
8
控制系统中正常工作的元件个数 X的数学期望为
 
2
3
2
3XE
.....................................3 分
由题意知，
81
64
243
192
243
32
243
80
243
80
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
205
5
5
14
4
5
23
3
53
CCCP
.........5 分
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量
a4
0
设备运行概率
Pk
1﹣Pk
所以升级改造后单位时间内产量的均值为
k
ap4
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
k
ap
k
ap3
利润（单位：元）
2
1
设备升级后单位时间内的利润为
kkk apapapy 532
................................................................6 分
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加 2个元件，
则第一类：原系统中至少有
1k
个元件正常工作，其概率为
 
;11 1
12
k
kk
kk ppCpp
................7 分
第二类：原系统恰好有
k
个元件正常工作，新增 2个元件中至少有一个正常工作，其概率为
   
 
 
;211112 1
1
12
21
12 pppCpppCp k
kk
k
k
kk
k
..........................................................8 分
第三类：原系统中有
1k
个元件正常工作，新增 2个元件全部正常工作，其概率为
   
;113 11
12
21
12
k
kk
k
k
kk
kppCpppCp
............................................................................9 分
所以
1k
p
 
1
12 1
k
kk
kk ppCp
 
pppC k
kk
k
21 1
1
12
 
k
kk
kppC
1
11
12
 
,121
121 pppCpp k
kk
kkk
即
 
,121
121 pppCpp k
kk
kkk
.........................................10 分
所以当
时
2
1
p
，
kkk ppp ,0
1
单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大.....................11 分
当
2
1
p
时，
0
1
kk pp
，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大
又因为
,5 k
apy
所以当
2
1
p
时，设备可以通过增加控制系统中元件个数来提高利润；
当
2
1
p
时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润................................12 分
20．解：（1）设直线 PQ 与x轴交于
0,
2
0
p
P
，
由几何性质易得：△CPP0与△OCP 相似，所以
COCPCP
CP
CO
CP
CP 0
2
0
,
即：
22
2
3
p
，解得：p＝1．所以抛物线 E的标准方程为：y2＝2x............... ...................3
分
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