江西省上饶市六校2023届高三第一次联考理科数学试题 参考答案2022.11.24

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江西省上饶市六校 2023 届高三第一次联考
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求。
题号 123456
答案 B D D D C C
题号 7 8 9 10 11 12
答案 B B B A B C
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．m=1 14．
33
49
15．
1
21
16．
3
√
2
三、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）
解：（1）由已知得：
2an=Sn+2
………………①
当
n=1
时，
a1=2
m≥2
时，
………………②
①-② 得：
an=2an−1
………………（3分）
即
an
an−1
=（常数）
∴
{
an
}
是一个以 2为首项，2为公比的等比数列
∴an=2n
………………（6分）
（2）由已知得：
Cn=1
n
(
n+2
)
=1
2
(
1
n−1
n+2
)
……………（8分）
Tn=C1+C2+⋯+Cn
=1
2
(
1
1−1
3+1
2−1
4+⋯+ 1
n−1−1
n+1+1
n−1
n+2
)
……………（10 分）
=1
2
(
1+1
2−1
n+1−1
n+2
)
=1
2
(
3
2−2n+3
(
n+1
) (
n+2
)
)
=3
4−2n+3
2
(
n+1
) (
n+2
)
……………（12 分）
18．（12 分）
证明：（1）由已知得：
A'O⊥平面 ABC
又
∵BC ⊆平面 ABC
∴A'O⊥BC
① ………………（2分）
∵Δ ABC
为等边三角形 O为BC 的中点
∴AO ⊥BC
………………② （4分）
由①②且 AO、
A'O⊆平面 AO { A'¿
∴BC⊥平面 AO { A'¿
∵BC ⊆平面 BC { C'B'¿
∴平面 AO { A'⊥BC { C ¿'B'¿
………………（6分）
（2）由上问
A O'⊥面ABC
AO ⊆平面 ABC
∴A O'⊥AO
∴A O'、AO、BC
两两垂直 ………………（7
分）
建立如图空间直角坐标系
A
(
2
√
3，0，0
)
，
B
(
0，2，0
)
，
A'
(
0，0，6
)
，
C
(
0，−2，0
)
，
B'
(
−2
√
3，2，6
)
⃗
A'C=
(
0,−2,−6
)
，
⃗
A'B'=
(
−2
√
3,2,0
)
令平面
A'B'C
的一个法向量是
⃗
n1=
(
x , y , 1
)
{
−2y−6=0¿¿¿¿
得
⃗
n1=
(
−
√
3,−3,1
)
………………（8分）
令平面
A'B'O
的一个法向量是
⃗
n2=
(
1, m, n
)
{
6n=0¿ ¿¿¿
⃗
n2=
(
1,
√
3,0
)
………………（10 分）
cos<
⃗
n1,
⃗
n2>=
−
√
3−3
√
3
2⋅
√
13 =−2
√
39
13
∴二面角 C−A'B'−O
的为余弦值为
2
√
39
13
………………（12 分）
19．（12 分）
解：（1）
K2=220
(
70×20−90×40
)
2
160×60×110×110 =9 . 167<10 . 828
不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为它们有关系 ………………（4分）
（2）由已知得从家里有宠物，家里没有宠物中各抽取 8户、4户
x的取值为 4，3，2，1，0 ………………（5分）
p
(
x=4
)
=C4
4C8
2
C12
6=1
33
………………（6分）
p
(
x=3
)
=C4
3C8
3
C12
6=8
33
………………（7分）
p
(
x=2
)
=C4
2C8
4
C12
6=5
11
………………（8分）
p
(
x=1
)
=C4
1C8
5
C12
6=p
(
x=3
)
=8
33
………………（9分）
p
(
x=0
)
=C4
0C8
6
C12
6=p
(
x=4
)
=1
33
………………（10 分）
x的分布列如下：
x43210
p
1
33
8
33
5
11
8
33
1
33
E
(
x
)
=4×1
33 +3×8
33 +2×5
11 +1×8
33 +0×1
33 =2
………………（12 分）
20．（12 分）
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