江西省宁冈中学2023届高三上学期一模（文科）数学试卷 含答案

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宁冈中学高 2023 届一模
数学试卷（文科）
命题人 审题人 备课组长
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．设集合 ， ，则 （）
A．B．C．D．
2．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有 2000 名同学，每名
同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中
参加朗诵社团的同学有 8名，参加太极拳社团的有 12 名，则（）
1．若集合 ， ，则 （　　）
A．B．
C．D．
2．某商场在售的三类食品共 200 种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为 40
的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是
A．8 B．12 C．24 D．30
3．已知 为等差数列 的前 项和， ，则 （）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知 的展开式中只有第 5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值
为（）
A．B．C．D．
5．函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（）
A．B．C．D．
6．在
? ABC
中， 若 ，则
? ABC
的外接圆的半径为（）
A．B．C．D．
7．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军， 三名诗词爱好者依
据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 猜测冠
军是乙或丁； 猜测冠军一定不是丙和丁； 猜测冠军是甲或乙．比赛结束后发现， 三
个人中只有一个人的猜测是正确的，则冠军是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．设有编号为 1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为 1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖盖
在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（）
A．30 种B．31 种C．32 种D．36 种
9．下列函数中，既是奇函数又在 上单调递减的是
A．B．C．D．
10．已知点 是圆 上的动点，则 的最大值为（）
A．B．C．6 D．5
11．函数 对任意的 都有 ，且 时 的最大
值为 ，下列四个结论：① 是 的一个极值点；②若 为奇函数，则 的最
小正周期 ；③若 为偶函数，则 在 上单调递增；④ 的取值范围是
{ 1,1, 2}A 
 
0 2B x x  
A B
{ 1,1,2}
{1}
{2}
 
1, 2
 
5| 2A x x  
 
|| | 3B x x 
A B
 
| 3 2x x 
 
| 5 2x x 
 
| 3 3x x 
 
| 5 3x x 
n
S
 
n
a
n
4 7 8 4
16,a S a a     10
a
2
n
xx
 
 
 
448
102417925376
 
2
2 ln 1f x x a x 
 
3,a a
a
9, 4
4
 
 
 
9, 4
4
 
 
 
3, 4
 
3, 4
1
3, cos 2
a A  
2
3
2 2
2 3
, ,A B C
A
B
C
, ,A B C
( , )
 
 
1
yx
3
y x
y x x  x
y e
( , )P x y 2 2 6 4 12 0x y x y    
x y
5 2
5 2
 
sin 0f x A x
 
 
x R
 
2f x f a x 
a<
0
a
5
5
x
 
 
f x
 
f x
 
f x
4
5
T
 
f x
 
f x ,0
5
 
 
 
.其中一定正确的结论编号是（）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
12．已知函数 ，对 ，恒有
，则实数 a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13．2020-2021 赛季 联赛共有 20 支队伍参加，这 20 支参赛球队将根据 20192020 赛季的最
终排名以蛇形排列分为两组，每组 10 支球队，常规赛采用组内四循环（即每 2支球队进行 4场
比赛）、不同组间双循环（即每 2支球队进行 2场比赛）的比赛方法，那么在常规赛阶段，
联赛一共需要比赛的场数为______.
14．在梯形ABCD 中， ，E是BC 的中点，若
|
`
AB
|
=3
，
|
`
CD
|
=2
，且
⃗
AB ⋅
⃗
AD =3
，则
___________．
15．若点 依次为双曲线 的左、右焦点，且 ， ，
.若双曲线 C上存在点 P，使得
`
B1P ? `
B2P=−2
，则实数 b的取值范围为______.
16．如图，正方体 的棱长为 1，P为 的中点，
M在侧面 上，若 ，则 面积的最小值为__
_________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)
17．在
? ABC
中，求证：
S? ABC =a2
2
(
cot B+cot C
)
．
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，平面 ， 为锐角
三角形，且 .
(1)求证：平面 ；
(2)平面 平面 .
19．甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回
答问题的概率分别是 和 ．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正
确，也没有影响．
(1)求乙回答 3个问题，至少有一个回答正确的概率；
(2)假设某人连续 2次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答 5次被退出比赛的概率是多少？
20．如图，椭圆 ，点 在短轴 上，且
⃗
PC ⋅
⃗
PD=−2
.
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ， 两点，
是否存在常数 ，使得
⃗
OA ⋅
⃗
OB +λ
⃗
PA ⋅
⃗
PB
为定值？若存在，
求 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 .
(1)当时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)当函数 存在极小值时，求证：函数 的极小值一定小于0.
22．在平面直角坐标 系中，曲线 的参数标方程为 （其中 为参数，且 ），
在以 为极点、 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线 的
极坐标方程为.
求曲线 的极坐标方程；
 
0,5
2
( ) ( 1) ln 1( 1)f x ax a x a   „
1 2
, (0, )x x  
 
1 2 1 2
4f x f x x x …
2
( , e ] 
( , e] 
[ 2, 1]  ( , 2] 
CBA
CBA
//AB CD
1 2
,F F
 
2 2
2 2
: 1 0, 0
x y
C a b
a b
 
1 2 6F F
 
1
0,B b
 
2
0,B b
1 1 1 1
ABCD A B C D
1
AA
1 1
AA B B
1
D M CP
BCM△
P ABCD
PAB
ABCD
/ /BC
PAD
PBA△
PB BC
/ /AD
PBC
PBC
PAB
2
3
3
4
 
2 2
2
: 1 0 2
4
x y
E b
b
 
 
0,1P
CD
E
O
P
A
B
   
2
2
1
x a
f x
x
0a
 
y f x
 
 
0, 0f
 
f x
 
f x
 
f x
xOy
C
1
1
x t t
y t t
 
 
t
0t
O
x
l
sin 2
3
 
 
 
 
 
 
1
C
求直线 与曲线 的公共点 的极坐标.
 
2
l
C
P
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