江西省南昌市2023-2024学年高三上学期开学考试（南昌零模）数学答案

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— 高三数学第 1页（共 4 页）—

2024 届NCS高三摸底测试

数学参考答案及评分意见

一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A C D B C D A B

二．多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多

个选项是符合题目要求，全部选对得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．

题号 9 10 11 12

答案 BCD AB ACD AB

三．填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．

13．2； 14．5； 15．3 39

13 ； 16．2

四．解答题：共 70 分．17 题10 分，其余大题 12 分一道，解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．

17．【解析】（1）由已知， sin cos sin cos sinAB B A ab C  ，

即sin( ) sinAB ab C  ，

sin sinCab C，所以 1ab ， …………………… 3 分

故ABC的面积为 1 1 3 3

sin 1

2 2 2 4

ab C    . …………………… 5 分

（2）由余弦定理，

2 2 2

cos 2

ab c

Cab

 

可得

2 2 1 1

a b  ，

所以 222a b  ， …………………… 7 分

所以 2 2 2

( ) 2 4a b a b ab     ，即 2a b  ，

所以 ABC的周长为 3. …………………… 10 分

18．【解析】（1）因为 ,MN分别为 ,AC AB 的中点，所以 NM BC∥，

因为 AB BC，所以 AB MN， …………………… 2 分

因为 AB PM，PM MN M，

所以 AB 平面 PMN ，所以 AB PN； …………………… 5 分

（2）因为 2AB BC  ,3BP PM  ，则 1NM NB  ，

所以 PNB PNM

 

，因为 AB PN，所以 PN NM，

因为 NB NM N，所以 PN 平面 ABC ，

因为 2AB BC  ,3BP PM  ，所以 2 2PN ， …………………… 7 分

以NB 为x轴， NM 为y轴， NP 为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则(0,1,0)M，(1,0,0)B，(0,0, 2 2)P，

所以 (1, 1, 0)MB 



，(0, 1, 2 2)MP  



，

设平面 PMB 的法向量为 1( , , )nx y z



，

则1

MB n

MP n

 



 





 

  ，所以0

2 2 0

x y

y z

 





  





，

{#{QQABBYaQggAIQAAAARgCAQGQCAEQkACCCAgGxBAEoAAByANABAA=}#}

— 高三数学第 2页（共 4 页）—

令



，得到 1

(2 2, 2 2,1)

n



，

平面

PMN

的法向量为 2

(1, 0,0)

n



…………………… 10 分

所以 1 2

1 2

2 2 2 34

cos ,

| || | 17

n n

n n n n



   

 

  ，

则二面角

N PM B

 

的余弦值为

2 34

. …………………… 12 分

19．【解析】（1）棱长为



的正方体的体积为

( 1)



，

棱长为

的正方体的体积为

， …………………… 3 分

所以 3 3 3 2 3 2

( 1) 3 3 1 3 3 1

a n n n n n n n n

          

； …………………… 5 分

（2）由（1）可知 3 3 2

( 1) 3 3 1

a n n n n

     

， …………………… 7 分

则2 2 2

1 2

3 1 3 1 1 3 2 3 2 1 3 3 1

a a a n n

                  

 

2 2 2

3 (1 2 ) 3 (1 2 )

n n n

          

 

2 2 2 ( 1)

3 (1 2 ) 3

n n



       



又3 3 3 3 3 3 3 3 2

1 2

2 1 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 3

a a a n n n n n n

                

 

，

所以 2 2 2 3 2

( 1)

3 (1 2 ) 3 3 3

n n

n n n n n



         

，

即

3 2

2 2 2 2

2 3 ( 1)(2 1)

1 2 3

6 6

n n n n n n

   

     . …………………… 12 分

20．【解析】（1）因为

OFM



的面积为

，则有

1 3 3

2 2 4

  

，解得



， ……2分

又因为

(1, )

M在椭圆

上，则 2 2

2 2

1 9

a b



 





 



，解得















，

所以椭圆

的标准方程为

2 2

4 3

x y

 

； …………………… 5 分

（2）根据椭圆的对称性，欲证

A D

关于

轴对称，

只需证

FA FD

k k

  ，即证

FA FB

k k

 

，

设

2 2 1 1

( , ), ( , )

A x y B x y

，直线

方程为

x my

 

，

由2 2

3 4 12

x my

x y

 





 



消去

得2 2

(3 4) 24 36 0

m y my

   

，

所以 1 2 1 2

2 2

24 36

3 4 3 4

y y y y

m m



  

 

…………………… 9 分

{#{QQABBYaQggAIQAAAARgCAQGQCAEQkACCCAgGxBAEoAAByANABAA=}#}

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