江西省临川第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试卷答案

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江西省临川一中 2022—2023 学年上学期期末考试理科数学
答案和解析
【答案】
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B A B D D C D D Ｂ Ｃ C
13.
12❑
√
3
　　　　14.
−1
243
　　　　　15.
９π
．　　　　　　16.
a ≤ e2
4
或
a=e3
9
17. 解：
(I)
设
{an+1− an}
的公比为
，
∵an+2=3an+1−2an
，
an+2− an+1=2(an+1−an)
又
a2− a1=1
，
∴an+1− an=2n − 1
，
∴an=a1+(a2− a1)+(a3− a2)+⋯+(an− an −1)=1+1+2+⋯+2n −2=1+1−2n −1
1−2=2n −1
，
即
{an}
的通项公式为
an=2n −1
．..........6 分
¿
Ⅱ
¿bn=n ∙ an=∙ n ∙2n− 1=n ∙
(
2
)
n −1
{bn}
的前 n 项和为
1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n −1
记
Sn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n − 1
，
则
2Sn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
，
作差可得
− Sn＝20+21+22+⋯+2n− 1− n⋅2n=1−2n
1−2−n ⋅2n
，
∴Sn=(n− 1)2n+1
，
因此，数列
{
bn
}
的前
n
项和为
(n −1)2n+1
..........12 分
18. 解：
(1)
因为
G
为线段
AC
的中点，且
BG=1
2AC
，
所以
AB⊥BC
，
因为
AB=8
，
BC=6
，
所以
AC=10
，
因为
A1B1/¿AB
，
B1C1/¿BC
，
所以
A1B1⊥B1C1
，
因为直三棱柱
ABC − A1B1C1
中，
A A1⊥
平面
A1B1C1
，
B1C1⊂
平面
A1B1C1
，
所以
A A1⊥B1C1
，
因为
A A1∩ A1B1=A1
，
A A1
，
A1B1⊂
平面
A1AB B1
，
所以
B1C1⊥
平面
A1AB B1
，..........3 分
因为
VF − A 1AE=VE − A 1AF =1
3SΔ A1AF ⋅(1
2B1C1)=1
6×(1
2S矩形 A1AB B1)⋅B1C1
¿1
12 A A1⋅AB⋅BC=1
6VABC − A 1B1C1=40
，解得
A A1=10
，
而
S△A1AE=1
2×10 ×❑
√
82+32=5❑
√
73
，
设点
F
到平面
A1AE
的距离为
ℎ
，
由
VF − A 1AE=1
3S△A1AE ⋅ℎ
，得
ℎ=24❑
√
73
73
，
即点
F
到平面
A1AE
的距离为
ℎ=24❑
√
73
73
；..........6 分
(2)
由
(1)
知：
A1A=10
，
以点
B
为坐标原点，直线
BC
，
BA
，
B B1
分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标系，
则
B(0,0,0)
，
A(8,0,0)
，
C(0,6,0)
，
A1(8,0,10)
，
B1(0,0,10)
，
F(0,0,5)
，
B A1
⃗
=(8,0,10)
，
AC
⃗
=(−8,6,0)
，
A A1
⃗
=(0,0,10)
，
设
BP
⃗
=λ B A1
⃗
(0≤ λ ≤1)
，
P(x0, y0, z0)
，
由
(x0, y0, z0)=λ(8,0,10)
，得
P(8λ ,0,10 λ)
，
所以
FP
⃗
=(8λ , 0,10 λ −5)
，
设平面
A1AC C1
的一个法向量
n
⃗
=( x , y , z )
，
则
{
n
⃗
⋅AC
⃗
=0
n
⃗
⋅A A1
⃗
=0
，即
{
6y − 8x=0
z=0
，取
x=3
，得
n
⃗
=(3,4,0)
，..........9 分
设直线
FP
与平面
A1AC C1
所成角为
θ
，
则
sin θ=¿n
⃗
⋅FP
⃗
∨¿
¿n
⃗
∨¿FP
⃗
∨¿=24 λ
5❑
√
64 λ2+¿¿¿¿
¿
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