江西省吉安市第一中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试+数学+含答案

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吉安一中 2023—2024 学年度上学期期中考试
高三数学试卷
命题人： 审题人： 备课组长：
一、单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1．已知集合 ，则
A．B．C．D．
2．设 ，若复数 的虚部为 3（其中 为虚数单位），则
A．B．C．D．3
3.已知 ，则
A．B．C．D．
4．小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从 A、B两块题
板中任选择一个答题，已知他答对 A题板中题目概率为 0.8，答对 B题板中题目的概率为 0.3，
假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从 A、B两块题板中任选一个作答，
现已知小明进入了下一轮，则他答的是 A题板中题目的概率是
A．B．C．D．1
5.已知双曲线 的右焦点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐
近线的两个交点为 ．若 ，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
6.已知五个数成等差数列，这五个数之和为 100，其中较大的三个数之和的 是较小的两个数之
和，则这五个数中最大的数为
A．B．20 C．D．
7． 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足
为正实数，则下列结论正确的是
A． 的最小值为 B． 的最大值为 1
C． 的最大值为 16 D． 的最小值为 4
8．设函数 （ ）（ 为自然对数的底数），若关于 x的不等式
f（x）<0 的正整数解有且只有两个，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
9．关于下列命题中，说法正确的是
A．已知 ，若 ，则
B．某校三个年级，高一有 400 人，高二有 360 人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从
全校抽取 57 人，已知从高一抽取了 20 人，则应从高三抽取 19 人
C．已知 ，若 ，则
D．数据 的 分位数为 77
10．已知函数 ，则
A．函数 的最小正周期为
B．若 ，则函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度
得到
C．若函数 为偶函数，则
D．若 ，则函数 的图象的中心为
11．已知 x,y 满足关系式： ，则关于函数 说法正确的是
A．函数 在 上为减函数 B．函数 的图象的对称轴为
C．D． ，使得
12．如图，矩形 中， 为边 AB 的中点，沿 将折起，点 折至 处
平面 分别在线段 和侧面 上运动，且 ，若 分别为线段
的中点，则在 折起过程中，下列说法正确的是
A．存在某个位置，使得
B． 面积的最大值为
C．三棱锥 体积最大时，三棱锥 的
外接球的表面积为
D．三棱锥 体积最大时，点 到平面 的距离的最小值为 .
三、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．函数 在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．已知球 O的表面积为 100 ，某个高为 6的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱
的体积为 ．
15.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为 ．
16．在如图所示的三角形数阵中，用 表示第 行第 个数 ），已知
，且当 时，除第 行中的第 1个数和第 个数外，每行中的其他各数均等
于其“肩膀”上的两个数之和，即 .若 ，则正整数 的
最小值为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）在 中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且
,若D为 边上一点， ， ，
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围．
18．（12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，点 在棱
上， ，点 在棱 上， 为 的中点， .
（1）求证： 四点共面.
（2）求直线 与平面 的所成角的正弦值.
19．（12 分）记 为数列 的前 项和，已知 a1=1,
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，,试求 除以 3的余数.
20．（12 分）本届杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大 60 路高清和
超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为 p（0＜p＜
1），且各套设备的生产互不影响．
（1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为，
．
①求p；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成
次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测
显示该款设备的合格率为 96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率．
（2）视p为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取 n套，其中恰含 m（n＞m）个次品的概率
为 ，求证： 在 时取得最大值．
21．（12 分）已知抛物线C1：x2=2py（p>0）的焦点 也是椭圆 的
一个焦点， 是 与 在第一象限的公共点.
（1）求抛物线C1的方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，与 交于 两点，且 与 同向.
（i）当直线 绕点旋转时，判断 的形状；
（ii）若 ，求直线 的斜率.
22．（12 分）已知函数 ．
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