江西省吉安市第一中学2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题 含答案

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吉安一中 2022—2023 学年度上学期期末考试
高一数学试卷
命题人： 审题人： 备课组长：
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1．设集合 ， .则 的元素个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知奇函数 在 上是增函数， .若 ，则
的大小关系为（）
A．B．C．D．
3．已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为
则实数 的取值范围为（）
A．B．C．D．
4．在算式 大+庆+精+神=中，“大、庆、精、神”分别代表四不同的数字，且依次从
大到小，则“庆”字所对应的数字为(　　)
A．B．C．D．
5．已知扇形的周长为 20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时 ．则当
， 的最小值是
A．B．C．D．
7．已知 则关于 的不等式 的解集为（）
A．B．C．D．
8．已知函数 ， ，当 时，方程 根的个数为
（）.
A．B．C．D．
二、多选题（每题 5分，共 20 分）
9．已知 ， 是正数，且 ，下列叙述正确的是（）
A． 最大值为 B． 的最小值为
C． 最小值为 D． 最小值为
10．定义在 R上的函数 满足 ，当 时， ，则 满足
（）
A．B． 是偶函数
C． 在 上有最大值 D． 的解集为
11．下列命题正确的是（）
A．B． ， ，使得 ax＞2
C．ab=0 是 的充要条件 D．a≥b＞－1，则
12．已知函数 则下列说法正确的是（）
A．函数 为周期函数．
B．函数 为偶函数．
C．当 时，函数有且仅有 2个零点．
D．若点 是函数 图象上一点，则 的最小值与 无关．
三、填空题（共 20 分）
13．集合 的真子集个数是__________.
14．已知向量
|
⃗
a
|
=1
，向量
⃗
b
满足
|
⃗
a−
⃗
b
|
+
|
⃗
a+
⃗
b
|
=4
，则 的最小值为______.
15．若函数 ，则 __________.
 
2
2 3 0A x x x  
 
Z 2 2B x x  
A B
( )f x
R
( ) ( )g x xf x
0.5
2
(log 0.2), (2 ), (4)a g b g c g  
, ,abc
c b a 
b a c 
b<c<a
a b c 
( ) 1f x x k   [ , ]a b
( )f x
[ , ]a b
[ 1, 1]a b 
k
( 1, ) 
( 1,0]
1,
4
 
 
 
 
1,0
4
 
 
2222
29
4
3
2
1
( )f x
( 1) ( )f x f x 
(0,1]x
( ) ( 1)f x x x 
( 2, 1]x 
( )f x
1
2
1
16
1
8
1
4
 
2
2 , 0,
4, 0.
x
x
f x x
a
 
 
2
2 3f a f a 
 
0,3
 
1,3
 
3,1
 
0,1
 
1
f x x a
x
 
 
2
6 5g x x x  
17
4
a
 
0f g x
 
 
4
3
2
1
x
y
2 1x y 
2xy
1
4
2 2
4x y
1
2
2x y
2
1 1
x y
3 2 2
( )f x
( ) ( ) ( )f x y f x f y 
0x
( ) 0f x
( )f x
(0) 0f
( )y f x
( )f x
[ , ]m n
( )f n
( 1) 0f x  
( ,1)
2
, , 2 ( 1) 0a b R a b  
a R
x R
2 2 0a b 
1 1
a b
a b
 
2
1 , 2
( ) ( R),
4
cos( ) , 2
xx
f x a
x a x
 
 
 
( )f x
( )f x
0a
( , )P x y
( )f x
 
22
3 x y
a
 
2
| 7, Zx x x 
b
⃗
 
23 1, 1
1 1 , 1
2 2
x
x x x
f x
x
 
 
 
 
( (2))f f
16．设函数 ，若对 ，不等式 成立，则实数 的取值范
围是____________.
四、解答题（共 70 分）
17．已知集合 A={x| 2≤﹣x≤5}，B={x|4＜x＜6}，C={x|x＜a}．
（1）求∁U（A∩B）；
（2）若 A∪B⊆C，求 a的取值范围．
18．在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，点 位于角 的终边上．
(1)求 和 的值；
(2)若 ，求函数 的定义域和单调递增区间．
19．已知 ，命题 p： ，不等式 恒成立；命题 q： ，
使得 成立.
(1)若p为真命题，求实数 m的取值范围；
(2)若q和p一真一假，求实数 m的取值范围.
20．已知函数 y＝f（x）的图象与 g（x）＝1ogax（a＞0，且 a≠1）的图象关于 x轴对称，且
g（x）的图象过点（4，2）．全科免费下载公众号-《高中僧课堂》
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）若 f（3x1﹣ ）＞f（﹣x+5）成立，求 x的取值范围．
21．如图，港口 在港口 的正东 120 海里处，小岛 在港口 的北偏东 的方向，且在港口
北偏西 的方向上，一艘科学考察船从港口 出发，沿北偏东 的 方向以 20 海里/小
时的速度驶离港口 .一艘给养快艇从港口 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 ，在 岛转运补
给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发，补给装船时间为 1小时.
（1）求给养快艇从港口 到小岛 的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口 后，最少经过多少小时能和科考船相遇？
22．已知函数 的图象过点 ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，若对于任意 ，都有 ，求 m的取值范围.
 
2
1
2
2
21
x
x
f x x
x R
 
 
2
4f mx f x ≥
m
 
3, 1P
sin
cos 4
 
 
 
 
,
 
 
 
( ) tanf x x
 
mR
1 1x 
2
3 1 3x m m  
1 1x 
m x
A
O
B
O
60
A
30
O
30
OD
O
A
B B
A
B
A
 
lnf x x a 
 
aR
 
1,0
2 ( )
( ) 2e
f x
g x x 
( )g x
0m
1,x m
m
 
 
 
( ) ln( 1)g x m 
1．C
【分析】首先求解二次不等式的解集得到集合 A，再根据集合的交集得到结果即可.
【详解】解：∵ ，
∴.
2．B
【分析】根据奇函数 ,可知 为偶函数.根据偶函数图像关于 轴对称,可判断
的大小.
【详解】因为奇函数 在 上是增函数,
所以由函数的性质可知 为 R上的偶函数,且
在 上单调递减,在 上单调递增
因为
而,所以 ,即
因为
所以
而, ,
所以
故选:B
【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数大小比较,判断两个函数乘积的奇偶性
是解决此类问题的关键,属于中档题.
3．D
【分析】根据函数的单调性可知， ，即得 ，故可知
是方程 的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知， ，
即可得到 ，
即可知 是方程 的两个不同非负实根，
所以 ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.
4．B
【分析】由 可得答案.
【详解】由 可得“庆”字所对应的数字为 3.
故选 B.
【点睛】本题考查指数幂的计算，属基础题.
5．B
【分析】由扇形的周长和面积，利用基本不等式可求出面积的最大值，进而求出圆心角的大小.
【详解】扇形周长 ，扇形面积
由 ，可得 ，当且仅当 时，面积有最大值 ，
扇形的圆心角
故选：B
【点睛】本题考查了扇形的周长和面积公式、基本不等式求最值等基本知识，考查了运算求解
能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
6．D
【分析】先求出函数 在区间 上的解析式，利用二次函数的性质可求出函数
在区间 上的最小值．
【详解】由题意可知，函数 是以 为周期的周期函数，
设 ，则 ，则 ，
 
 
2
2 3 0 1 3A x x x x x  
 
 
Z 2 2 2, 1,0,1, 2B x x  
 
1, 0,1, 2A B  
( )f x
( ) ( )g x xf x
y
, ,a b c
( )f x
R
( ) ( )g x xf x
(0) 0g
( ) ( )g x xf x
 
,0
 
0,
2 2 2
1
log 0.2 log log 5
5
 
2
2 log 5 3 
2
3 log 5 2    
2
3 log 0.2 2  
0.5
1 2 2 
0.5 2
2 log 5 4 
   
2 2 2
log 0.2 log 5 log 5a g g g  
0.5
(2 )b g
(4)c g
b a c 
 
 
1
1
f a a
f b b
 
 
1 1 0
1 1 0
a a k
b b k
 
 
1, 1a b 
2
0x x k 
 
 
1
1
f a a
f b b
 
 
1 1 0
1 1 0
a a k
b b k
 
 
1, 1a b 
2
0x x k 
1 4 0
1 1 0
k
a b k
 
 
10
4k  
4 3 2 0
29 16 8 4 1 2 2 2 2  
4 3 2 0
29 16 8 4 1 2 2 2 2  
2 20  C R l
1
2
S lR
20 2 2 2  R l Rl
50Rl
2 10 R l
25
10 2
5
 
l
R
 
y f x
2, 1 
 
y f x
2, 1 
 
y f x
1
2, 1x 
2 0,1x 
   
2
2 2 1 3 2f x f x x x x x   
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