江西省赣州市2023届高三年级（一模）丨理数答案

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赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 1

赣州市 2023 年高三年级摸底考试

数学(理科)参考答案

一、选择题

题号

答案

11．解：由题意得

1 1 2 2F M F F c 

，由椭圆定义得：

22 2MF a c 

．记

1 2

MF F



 

，

则

2 1 2

AF F MF A



   

，

1 2 1 2 2 2F F M F MF MAF



     

，则

2 1 2 2AF AF a c  

，

4 2AM c a 

，故

1 2 2

MF F MF A△ ∽△

，则

1 2 2

MF AM

F F MF



(或由内角平分线定理得到)，则

2a c c a

c a c

 



，即

2 2 2 5 1

0 1 0 2

c ac a e e e 

        

(负值已舍)．

12．解：如图，设

,E F

分别为棱

1 1

BC C D ,

的中点，则三棱锥

M AA N

与三棱柱

AEM A NF

外接球相同．由余弦定理

cos 5

EAM 

，由正弦定理

EAM△

外接圆半径

5 2

r

，

设三棱柱

AEM A NF

外接球半径为

，则

2 2 2 43

R r  

，

则三棱锥

M AA N

外接球的表面积

243

4π 4π 86π

S R   

．

二、填空题

13．

2

；14．

；15．

3

与

2

中的任选一个即可； 16．①②③④．

16.解：由

( 1) 0f 

结合

( ) ( 2) 1, ( 4) ( ) 3f x g x f x g x     

，

(1) 1, (3) 3g g   

由

( 4) ( ) 3f x g x  

得：

( 4 4) ( 4) 3f x g x    

，即

( ) ( 4) 3f x g x  

，

结合

( ) ( 2) 1f x g x  

得：

( 2) ( 4) 2g x g x    

，

从而有

( ) ( 2) 2g x g x   

，进而得：

( ) ( 4)g x g x 

，故

是

( )g x

的周期.

又由

( )y f x

的图像关于直线

1x

对称，即

( ) (2 )f x f x 

，

从而

( ) ( 2) 1f x g x  

可得：

(2 ) ( 2) 1f x g x   

，

从而有：

[2 ( 6)] [( 6) 2] 1f x g x       

，即

( 4) (8 ) 1f x g x   

，

结合

( 4) ( ) 3f x g x  

得

(8 ) ( ) 2g x g x   

，

( )g x

的图像关于

(4, 1)

对称，且

(4) 1g 

，

又

( ) ( 2) 2g x g x   

，得

(2) 1g 

赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 2

三、解答题

17．解：(1)由

1 2

n n

a a a  

   

…①

当

1n

时，

1 1

2 4a a  

………………………………………………………………………………1分

当

2n≥

时，有

1 2 1

( 1) ( 1) 2

n n

a a a 

   

   

…② …………………………………3分

①—②得：

a n

，即

a n

……………………………………………………………………………5分

不符合上式，故

4, 1

, 2

an n







≥

……………………………………………………………………………6分

(2)由(1)知

1, 1

1, 2

n n











≥

1, 1

1 1 , 2

n n





  





≥

………………………………………………7分

故当

1n

时，

S

…………………………………………………………………………………………8分

当

2n≥

时，

1 2 3

1 1 1 1 1 1 1

6 2 3 3 4 1

n n

S b b b b n n

     

            

     



     

 

…………………10 分

 

1 1 1 2 1 2 1

6 2 1 3 1 3 1

Sn n n



     

  

…………………………………………………………………11 分

因

符合上式，故

 

2 1

3 1





…………………………………………………………………………12 分

18．解：(1)设 A小区方案一的满意度平均分为

，

则

 

45 0.006 55 0.014 65 0.018 75 0.031 85 0.021 95 0.0 10 10 72.7x            

………2分

设B小区方案二的满意度平均分为

，

则

 

45 0.005 55 0.010 65 0.010 75 0.020 85 0.032 95 0.0 23 10 78.3y            

… … 3分

∵

72.7 78.3

………………………………………………………………………………………………4分

∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎…………………………………………………………………5分

(2)由题意可知方案二中，满意度不低于 70 分的频率为

 

0.020 0.032 0.023 10 0.75 4

    

，低于 70

分的频率为

 

0.005 0.005 0.015 10 0.25 4

    

……………………………………………………6分

现从 B小区内随机抽取 5个人，X的所有可能取值为

0 1 2 3 4 5 , , , , ,

，则

5, 4

X B  

 

 

………………7分

赣州市 2023 年摸底考试理科数学参考答案 3

 

1 1

0 C 4 1024

P X  

  

 

 

，

 

3 1 15

1 C 4 4 1024

P X  

    

 

 

………………………………………8分

 

3 1 90 45

2 C 4 1024 514 2

P X  

   

 

 



 

 

，

 

3 2

33 1 270 135

3 C 4 1024 5124

P X  

 



 

   



 





…………9分

 

3 1 405

4 C 4 44 102

P X  

  

 

  

，

 

3 243

5 C 4 1024

P X  

  

 

 

………………………………………10 分

∴X的分布列为

1024

512

135

512

405

1024

243

1024

…………………………………………………………………………………………………………………11 分

期望

EX 

…………………………………………………………………………………………………12 分

19．证：(1)证明：如图，连接

，∵

AB AP

，

为

的中点，

∴

AM PB

…………………………………………………………………………………………………1分

又平面

PAB 

平面

PBC

，平面

PAB 

平面

PBC BP

，

AM 



平面

PAB

，

故

AM 

平面

PBC

…………………………………………………………………………………………2分

∵

PC 



平面

PBC

，∴

AM PC

…………………………………………………………………………3分

又∵

PC MN

，且

AM MN M

，

AM MN 



平面

AMD

∴

PC 

平面

AMD

；

而

AD 



平面

AMD

，∴

PC AD

………………………………………………………………………4分

(2)解：由

ABP△

为等边三角形，

2PB 

，得

3AM 

………………………………………………5分

如图，过

作

的平行线

轴，结合(1)知

z CB CP 轴, ,

两两垂直，

故可建立如图所示的空间直角坐标系

C xyz

，

则

 

0,0,0C

，

 

1, 0,0P

，

1 3

, ,0

2 2

M 

 

 

，

1 3

, , 3

2 2

A 

 

 

，

 

0, 3, 0B

，

设

 

, ,x y zn

为平面

PAC

的一个法向量 …………………………………………………………………6分

则

 



 







…………………………………………………………………………………………………7分

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