江西省丰城中学2022-2023学年高三下学期入学考试 数学（理） 参考答案和解析

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1
高三理科数学入学考试卷答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
13. 5 14. -21 15.
3
16.
 
e,0
17.【解析】（1）对于数列
{ }
n
a
，
4 2 9
1 1
1 1
1 1 1
( )
2( ) 5
n n n
a q a q
a q a q a q
 
 
*
1
( 0, )a q n N 
即
1
12
2
a q
q
或
注意到
{ }
n
a
为递增数列则
∴
2n
n
a
对于数列
{ }
n
b
，由
14 1
n n n
b b S
 
得
1 1
4 1
n n n
b b S
 
 
相减得
1 1
( ) 4
n n n n
b b b b
 
 
又∵
0
n
b
∴
1 1 4
n n
b b
 
 
为定值
∴数列
2 1
{ }
n
b
和
2
{ }
n
b
都是以 4 为公差的等差数列
又∵
11b
∴在
14 1
n n n
b b S
 
中令
1n
得
23b
∴
2 1 1 ( 1) 4 2(2 1) 1
n
b n n
 
，
23 ( 1) 4 2(2 ) 1
n
b n n 
∴
，
2 1
n
b n 
（2）由（1）得
n
T
2 3
1 2 3 2 5 2 (2 1) 2 n
n    
∴
2n
T
2 3
1 2 3 2  
1
(2 3) 2 (2 1) 2
n n
n n
 
∴
n
T
2 3
1 2 2 2 2 2    
1
2 2 (2 1) 2
n n
n
 
3 1
1
2 (1 2 )
2 (2 1) 2
1 2
n
n
n
 
1
(2 3) 2 6
n
n
 
18. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，得:成绩在[120，130）的频率为
1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；……………… …2分
所以估计该校全体学生的数学平均成绩为
85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，
所以该校的数学平均成绩为 107；……………… …4分
（Ⅱ）根据频率分布直方图得，
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
总分
答
案
Ｂ
D
D
B
D
Ａ
B
Ｂ
A
B
D
B
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2
这50 人中成绩在 130 分以上（包括 130 分）的有 0.08×50=4 人，
而在
 
140,120
的学生共有
,105008.05012.0
……………… …5分
所以
X
的可能取值为 0、1、2、3，……………… …6分
所以 P（
X
=0）= = = ，P（
X
=1）= = = ，
P（
X
=2）= = = ，P（
X
=3）= = = ；……… …10 分
所以 X的分布列为
数学期望值为
EX
=0×+1×+2×+3×=1.2．……………… …12 分
19.【解析】由平面
ABCD BCEG平面
，平面
ABCD BCEG BC平面
,
,CE BC CE 
平面 BCEG,
EC ABCD平面
.………2 分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得
(0, 2,0 (2 0,0 (0 0 2 (2,1, 0) (0, 2,1)B D E A G）， ， ）， ，，），
………….3 分
（Ⅰ）设平面 BDE 的法向量为
( , , )m x y z
，则
(0, 2, 2), (2,0, 2)EB ED   
 
0 0EB m ED m    
   
即
0
0
y z
x z
 
 
，
x y z 
，
平面 BDE 的一个法向量为
(1, 1 ,1)m
，
………………………………………………..5 分
( 2, 1, 1)AG  
2 1 1 0AG m  
 
，
AG m 
 
，
AG BDE平面
，∴AG∥平面 BDE. ……………………………………………….7 分
（Ⅱ）设平面
BAG
的法向量为
 
zyxn ,,
，平面
BDE
和平面
BAG
所成锐二面角为
……….8
分
因为
 
0,1,2 BA
,
 
1,0,0BG
,由
0,0 BGnBAn
得
0
02
z
yx
，…….10 分
平面
BAG
的一个法向量为
 
0,2,1n
，
5
15
53
21
cos
nm
nm
.
故平面
BDE
和平面
BAG
所成锐二面角的余弦值为
5
15
……….12 分
20. 【解析】（Ⅰ）依题意可知
.2a
1,3
2
322 cabce
.
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3
所以椭圆的方程为:
1
4
2
2
y
x
……………… …4 分
（Ⅱ）(方法一)设直线的方程为
 
2
1xky
,
直线
2
NA
的方程为
 
2
2xky
.…………… …5 分
联立方程组
 
 
.04161614
1
4
2
2
1
2
1
22
1
2
2
1
kxkxk
y
x
xky
……………… …7 分
解得点
M
的坐标为
14
4
,
14
82
2
1
1
2
1
2
1
k
k
k
k
M
同理,可解得点
N
的坐标为
.
14
4
,
14
28
2
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
N
…… …9 分
由
NDM ,,
三 点 共 线 ,得
,
1
14
28
14
4
1
14
82
14
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
化 简 有
 
0314 1221 kkkk
.………… …11 分
已知
21,kk
同号,所以
12 3kk
.故存在
3
,使得成立.……………… …12 分
(方法二)当直线
l
垂直于
x
轴时,
NM ,
点的坐标分别为
.
2
3
,1,
2
3
,1
NM
所以此时直线与
的斜率分别为
.
2
3
,
6
3
21 kk
有
12 3kk
.……………… …6 分
由此猜想:存在
3
满足条件.下面证明猜想正确.
当直线
l
不垂直于
x
轴时,设直线
l
的方程为
 
1xky
,又设
 
2211 ,,, yxNyxM
.
联立方程组
 
 
044814
1
4
1
2222
2
2
kxkxk
y
x
xky
……………… …8 分
14
44
,
14
8
2
2
21
2
2
21
k
k
xx
k
k
xx
2
,
22
2
2
1
1
1
x
y
k
x
y
k
 
 
22
21321
2
3
2
3
21
2112
1
1
2
2
12
xx
xxkxxk
x
y
x
y
kk
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