江西省丰城中学、上高二中2023届高三联考理科数学试卷参考答案

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江西省丰城中学、上高二中 2023 届高三联考
理科数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D C A B C A B D A A
二、填空题：
13．14．15．16．
16. 由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为 3，如图所 示：
设球 O半径为 R，由∠OCB=30°，可得 OC=2R，
故OA=OC=2R，∴R+2R=3，∴R=1，OC=2，故得
EC=1，
设小球半径为 r，同理可得 O'C=2r，故 3r=1，
∴小球半径为 r=，且 OO' =，
这时 O'到直线 AO 的距离为 ，
由于这些小球相信邻相切，排在一起，
则球心在一个半径为 的圆 M上，如图所示：
H为相邻两球切点，M1，M2分别为相邻两球球心，
设∠M1MH=
，则 sin
= = ，tan
= .
由三角函数的性质可知 sin
＜
＜tan
，
∴，则 ，∴
∵，
故可得能放入小球个数最多为 10.
三、解答题：
17．解析：(1)因为 a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n－1)3n＋1，　①
当n＝1时a1＝1，
当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝(n－2)3n－1＋1，　②
①－②得(2n－1)an＝[(n－1)3n＋1]－[(n－2)3n－1＋1]＝(2n－1)3n－1(n≥2).
所以 an＝3n－1(n≥2).
又因为当 n＝1时，上式也成立，所以{an}的通项公式为 an＝3n－1.
(2)由题可知 dn＝＝＝，得＝·，
则Tn＝·＋·＋·＋…＋·＋·，　③
Tn＝·＋·＋·＋…＋·＋·，　④
③－④得 Tn＝1＋(＋＋…＋)－·
＝1＋·－·＝－·，
解得 Tn＝－.
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