2023年江西省宜春市高三第二次模拟考 数学（理）答案

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2023 届高三模拟考试数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B B A A D C C D C A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.2 2
( 2) 4x y 上的任意一点都可以 14.
5
12
,0
15.4044 16.③
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答。
17.(1)证明：在 ABC中， Bcba cos2,
由正弦定理得 BCBA cossin2sinsin ，
又
 
πA B C 
，
因为 BCBCB cossin2sin)sin(
所以 BCBBC sincossincossin
所以 BBC sin)sin( 又0sin B
所以 0 πC B C ,且
CBCB
所以 B C B ，故 2C B.…………………………6分
(2)由（1）2C B得
 
3 0, πB C B  ，
所以 π
0, 3
B 
 
，1
cos ,1
2
B 
 
，
因为 Bcba cos2，2C B
所以 Bb
bBc
Bb
ba
cos
2cos2
cos
3
BB
BBC
cossin
sin2cossin2
BB
BBB
cossin
sin2cos2sin2
24
cos
2
cos4 B
B
当且仅当 B
Bcos
2
cos4 即
2
2
cos B
且π
0, 3
B 
 
当且仅当 4
B时等号成立，
所以当 4
B时， Bb
ba
cos
3的最小值为 24 .…………………………12 分
18．解：（1）X的可能取值为 0，3，6，9．
9
1
3
2
2
1
3
1
)0( XP ；3
1
2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
3
2
2
1
3
2
)3( XP 18
7
；
3
1
2
1
3
1
3
1
2
1
3
2
3
2
2
1
3
2
)6( XP 18
7
；9
1
3
1
2
1
3
2
)9( XP ．
所以 X的分布列为
．
2
9
9
1
9
18
7
6
18
7
3
9
1
0)( XE …………………………6分
（2）设“甲队和乙队得分之和为 12”为事件 A，“甲队与乙队得分相同”为事件 B，则
3
3
33
2
18
7
)( CAP
2
1
3
2
2
33
1
3
2
9
1
3
1
3
2
18
7
CC =243
76 ，
81
4
3
1
3
2
18
7
)(
2
2
3
CABP ，所以 )( ABP 38
21
243
76
81
14
)(
)( AP
ABP
所以在甲队和乙队总分之和为 12 分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率 38
21 ……12 分
19.（1）因为 PD 平面 ABC ,ABCAB 平面
因为 .AB PD
因为 PABDE 平面，PABAB 平面
因为 .AB DE又因为 DPDDE
因为 AB PDE平面 ，又因为
PDFPG 平面所以 .AB PG
又由已知可得 PA PB，
G
是AB 的中点.…………………………6分
（2）以
P
为坐标原点，
PCPBPA ,,
所在直线分别为
zyx ,,
轴，
建立空间直角坐标系 xyzP ，不妨设 2PA
X0 3 6 9
P9
1
18
7
18
7
9
1
则)0,1,1(),2,0,0(),0,2,0(),0,0,2( GCBA
易知 ,PABPC 平面又由因为 PABDE 平面
所以 DEPC // 由正三棱锥的性质可知 D是ABC的重心
所以 1
2
DG
CD 所以 1
2
DG
CD
EG
PE 则)0,
3
2
,
3
2
(E
4 2
( , , 0), ( 2,0, 2)
3 3
EA AC
-
= = -
 
设平面 EAC 的法向量 ),,( zyxm 则
,022
,0
3
2
3
4
zx
yx
令1y得)1,2,1(m
平面 PAC 的法向量 )0,2,0(PB ,
设平面 EAC 与平面 PAC 的夹角为
3
6
62
4
cos
PBm
PBm
所以平面 EAC 与平面 PAC 夹角的正弦值为
3
3.…………………………12 分
20. （1）解：依题意得
则
，
，
a
a
c
226
2
1
，
，
2
4
c
a
则12
222 cab 所以椭圆 C的方程为 1
1216
22
yx …………………………4分
（2）直线 1
l：)2(
1xky
，
，
1
1216
)2(
22
1
yx
xky
设),(),,( 2211 yxNyxM
则0481616)43 2
1
2
1
22
1kxkxk（
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