2023年江西省高三教学质量检测卷理科数学试题答案和解析

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理科试题第 1页

理科数学答案

1．【答案】C

【解析】

 

| 2 2A x x   

，

 

3 3 { 2}

B x x x   ∣ ∣

，

∴

A B A 

，

A B B 

，故选：C.

2.【答案】A

【解析】由条件

5 10

|1+i|| | | 2 i| | | 2

z z     

3．【答案】C

【解析】因为

0 π



 

，所以

2sin 1



 

等价于

π π π 3π

( , ) ( , )

4 2 2 4





，

tan 1





等价于

π π

( , )

4 2





，

因此“

2sin 1



 

”是“

tan 1





”的必要不充分条件.

4.【答案】B

【解析】估计该校在

小时内完成作业的学生占比是

0.1 0.5 0.3 0.5 20%   

，A 错误；

抽取的学生不能在

小时内完成课后作业的人数是

100 (0.1 0.5 0.1 0.5) 10    

（人），B

正确；抽取学生课后完成作业时间的

100

个数据的中位数在区间

(2.5 3)，

内，C 错误；抽取学

生课后完成作业时间的

100

个数据的众数不能由直方图确定，D 错误.

5.【答案】C

【解析】因为

| | 3 ( 2 2, 2)MF M  

，点

到

轴的距离为

2 2

6.【答案】A

【解析】

 

2sin(2 ) 1

f x x  

，令 t=

x

，

问题转化为求

方程

1 π 5π

sin , [ , ]

2 3 3

t t   

的解，解得

t 

或

7π

，即解有两个，选 A.

7.【答案】D

理科试题第 2页

【解析】设球的半径为

，则

2OA r

OC 

因此水的体积

2 3 3

1 2 2 2

( ) 2

3 3 9

V r r r

  

  

，

所以水的体积与球的体积之比是





8.【答案】B

【解析】由图可以得到

0a

，

且方程

'( ) 3 2 0f x ax bx c   

的两根

1 2

,x x

满足

1 2 1 2

0, 0x x x x  

，即

20, 0

3 3

b c

a a

  

，

因此

0, 0, 0a b c  

9.【答案】A

【解析】

3 3 3 3

(2 ) ( ) log (1 ) log (3 ) (2 ) 3 log (3 ) log (1 ) 3 4.f x f x x x x x x x               

因此函数

( )f x

的图象关于点

(1,2)

成中心对称，

(0) 4, (2) 0f f 

，函数

( )f x

在区间

(0, 2)

上单调递减，因此与坐标轴围成图形的面积是

12 4 4

2  

10.【答案】B

【解析】设

1 2

Rt PF F

的内切圆半径为

，因为圆

与

轴切于

( ,0)a

，所以

r c a 

故

3( )

G I P

y y r c a y c a      

，所以

2 2 2

3( ) 3( )

b c a

c a c a

a a



    

，

即

2c a

，故双曲线的离心率为 2.

11.【答案】C

【解析】由题意得

BE 

平面

1 1

AA E E

,设点

在平面

1 1

AA E E

内的投影为

，则点

在

线段

1 1

A E

上，且

1 1 1E H 

,设点

在线段

上，且

1HE 

，

则

1 1

HH E E

是一个正方形，点

的轨迹是其对角线

.将△

HEE

与

1 1

HB E

展开到一个面内，得到如图图形，

因此

PE PB

的最小值是

B E

，

理科试题第 3页

2 2

1 2 2 1 2 ( ) 5

B E        

最小值为

12．【答案】B

【解析】依题意

'( ) e ln 2 1 0

f x a x



    

有解，即

1 ln

e ln 1

ax a x

   

,即

1 ln

1 ln e ln ln

ax a

ax a x ax a

 

     

，即

1 ln ln( )

1 ln e ln( ) e

ax a ax

 

    

有解，

构造函数

( ) et

g t t 

,单调递增，因此不等式转化为

1 ln ln( )ax a ax  

，

即

ln 1x





有解，记

ln 1

( ) x

h x x





，

2 ln

'( ) 0 e

h x x



   

从而求得

( ) ( , e ]h x 

 

,因此

0 ea

 

13.【答案】19

【解析】

2 2 2 1

2 9 2 3 2 4 19

a b a a b b           

  

（）

14.【答案】

【解析】

(3, 4), 5C r 

，圆心到直线的距离

4d

，因此

| | 6, 12AB S 

15.【答案】

810

【解析】方法一：

2 5 2 5 5 4 2 8 10

( 2 3) [(3 2 ) ] (3 2 ) 5(3 2 ) 5(3 2 )x x x x x x x x x x            

因此

1 4

1 5 3 2 810a C   

方法二：两边同时对

求导得

2 4 9

1 2 10

5( 2 3) (2 2) 2 10x x x a a x a x      

令

0x

，得到

1810a

16.【答案】

22 4 3

【解析】

2 2 2

1sin 4 4 3

ABC

S ab ACB ab c a b

       

，

在

2 3

M AMV

中，

2 3 2 3

2 2

| | ,| | ,

2 2 2

AM b AM c M AM BAC



     

，

由余弦定理可得

2 2 2 2

2 2 2

2 3

1 1 2 2

| | 2 cos( ) sin 2

2 2 2 2 2 2 2

b c b c

M M c b c b BAC bc BAC



 

             ，

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