2023届江西省五市九校协作体高三第二次联考 文科数学答案

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江西省五市九校协作体 2023 届第二次联考文科数学参考答案
三．解答题：
17. 解：
(1)2𝑎
×
10
=
1−0.4−0.3−0.2
，解得
𝑎
=
0.005
，………2 分
估计本次考试的平均分为
55
×
0.05
+
65
×
+
75
×
+
85
×
+
95
×
0.05
=
73
．……4 分
(2)
由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间
[
90,100
]
的占比为
5%
，位于区间
[
80,90
]
的占比为
20%
，………6 分
估计等级
𝐴
的原始分区间的最低分为
90−
15％−5％
20％
×
10
=
85
，………8 分
所以估计此次考试化学成绩
𝐴
等级的原始分区间为
[
85,98
]
．………9 分
(3)
由
98−90
90−85
=
100−𝑇
𝑇−86
，解得
𝑇
=
1188
13
≈
91
，该学生的等级分为
91
分． ………12 分
18. 解：
(1)
因为
𝑎
cos
𝐵
+
3
𝑎
sin
𝐵
=
𝑐
+
𝑏
，由正弦定理可得
sin
𝐴
cos
𝐵
+
3
sin
𝐴
sin
𝐵
=
sin
𝐶
+
sin
𝐵
=
sin
(𝐴
+
𝐵)
+
sin
𝐵
=
sin
𝐴
cos
𝐵
+
sin
𝐵
cos
𝐴
+
sin
𝐵
，
即
3
sin
𝐴
sin
𝐵
=
sin
𝐵
cos
𝐴
+
sin
𝐵
，………2 分
又
𝐵
∈
(0,𝜋)
，所以
sin
𝐵
≠
0
，所以
3
sin
𝐴−
cos
𝐴
=
1
，即
sin
(𝐴−
𝜋
6
)
=
1
2
，……4 分
又
𝐴
∈
(0,𝜋)
，所以
𝐴−
𝜋
6
∈
(−
𝜋
6
,
5𝜋
6
)
，所以
𝐴−
𝜋
6
=
𝜋
6
，解得
𝐴
=
𝜋
3
．………6 分
(2)
因为点
𝐺
是
△
𝐴𝐵𝐶
的重心，所以
𝐴𝐺
=
1
3
(
𝐴𝐵
+
𝐴𝐶
)
，
所以
𝐴𝐺
2
=
1
9
(
𝐴𝐵
+
𝐴𝐶
)
2
=
1
9
(
𝐴𝐵
2
+
2
𝐴𝐵
⋅
𝐴𝐶
+
𝐴𝐶
2
)
，………7 分
即
21
=
1
9
(
𝑐
2
+
3𝑐
+
9)
，解得
𝑐
=
12
或
𝑐
=
−15(
舍
)
．………8 分
由余弦定理得
𝑎
2
=
𝑏
2
+
𝑐
2
−2𝑏𝑐
cos
𝐴
=
3
2
+
12
2
−2
×
3
×
12
×
1
2
=
117
，解得
𝑎
=
3
13
．…9 分
设
△
𝐴𝐵𝐶
内切圆的半径为
𝑟
，则
1
2
𝑏𝑐
sin
𝐴
=
1
2
(𝑎
+
𝑏
+
𝑐)𝑟
，………10 分
即
1
2
×
12
×
3
×
3
2
=
1
2
×
(3
+
12
+
3
13
)𝑟
，
一．序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
B
A
C
A
B
D
A
C
B
二．填空题
13.
−2
14.
4
15.
1
2
e
−4
16.
Sn=
8
5
−
3
5
×
(
4
9
)
𝑛
来源：高三答案公众号
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解得
𝑟
=
5
3
−
39
2
，即
△
𝐴𝐵𝐶
内切圆的半径为
5
3
−
39
2
． ………12 分
19. 解：
因为
𝑃𝐵
⊥
底面
𝐴𝐵𝐶𝐷
，所以
∠𝑃𝐷𝐵
为直线
与平面
𝐴𝐵𝐶𝐷
所成的角，因为
sin
∠𝑃𝐷𝐵
=
𝑃𝐵
𝑃𝐷
=
15
5
，
所以
=
5
所以
𝐵𝐷
=
2
，又
𝐵𝐴
=
2
，
𝐴𝐷
=
2
，所以
∠𝐴𝐵𝐷
=
𝜋
2
………2 分
(1)
取
𝐵𝐶
的中点
𝑀
，连接
𝐹𝑀,𝑀𝐸,
因为
𝐹
为
𝑃𝐶
的中点，
所以
𝐹𝑀//𝑃𝐵
，且
𝐹𝑀
=
1
2
𝑃𝐵
=
3
2
，
又
𝐸
为
𝐴𝐷
的中点，所以
𝑀𝐸//𝐴𝐵
，且
𝐸𝑀
=
𝐴𝐵
=
2
，
所以
∠𝐹𝐸𝑀
即为异面直线
𝐸𝐹
与
𝐴𝐵
所成角或补角，
因为
𝑃𝐵
⊥
底面
𝐴𝐵𝐶𝐷
，所以
𝐹𝑀
⊥
底面
𝐴𝐵𝐶𝐷
，
可得
𝐹𝑀
⊥
𝐸𝑀
，
所以
tan
∠𝐹𝐸𝑀
=
𝐹𝑀
𝐸𝑀
=
3
2
2
=
6
4
；………6 分
(2)
在
△
𝐴𝐵𝐷
中，
𝐴
𝐵
2
+
𝐵
𝐷
2
=
4
=
𝐴
𝐷
2
，所以可得
𝐴𝐵
⊥
𝐵𝐷
，………8 分
所以过
𝑃
，
𝐴
，
𝐵
，
𝐷
四点的球即以
𝐵𝑃
，
𝐵𝐷
，
𝐵𝐴
为三条邻边的长方体的外接球，
设球的半径为
𝑅
，则
2𝑅
=
𝐵
𝑃
2
+
𝐵
𝐴
2
+
𝐵
𝐷
2
=
7
，
即
𝑅
=
7
2
，………10 分
因此三棱锥
𝑃—𝐵𝐴𝐷
外接球的体积为
𝑉
=
4
3
𝜋𝑅
3
=
7
7
6
𝜋
． ………12 分
20. 解：
(1)
∵
𝑎
=
𝑏
=
𝑐
，
∴
𝑓(𝑥)
=
(𝑥−𝑎
)
3
，
∵
𝑓(4)
=
8
，
∴
(4−𝑎
)
3
=
8
，
∴
4−𝑎
=
2
，解得
𝑎
=
2
，………4 分
(2)𝑎
≠
𝑏
，
𝑏
=
𝑐
，则
𝑓(𝑥)
=
(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏
)
2
．
令
𝑓(𝑥)
=
(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏
)
2
=
0
，解得
𝑥
=
𝑎
，或
𝑥
=
𝑏
．
𝑓′(𝑥)
=
(𝑥−𝑏
)
2
+
2(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)
=
(𝑥−𝑏)(3𝑥−𝑏−2𝑎)
．
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