湖南省常德市2023届高三上学期期末检测数学试卷 含答案

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2022—2023 学年度上学期常德市高三检测考试
数 学（试题卷）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．
2．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为
A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
3. 已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
4. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠
放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙
子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．
已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 80
分钟．设经过 t分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的
沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则 t的值为
A.10 B.20 C.60 D.70
5. 在平面直角坐标系中，已知点 为角 终边上的点，则
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，已知直线 与圆 相交的弦长为
，则
A. B. C. D.
7. 已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过 的直线与曲线 C
的左右两支分别交于点 M、N，且 ，则曲线 C的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 已知抛物线 ， 为坐标原点，点 P为直线 上一点，过点 P作抛物线 C
的两条切线，切点分别为 A，B，则
A.抛物线的焦点坐标为(0，1) B.抛物线的准线方程为
C.直线 AB 一定过抛物线的焦点 D.
10. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则
下列说法一定正确的是
A.函数 的周期为 B.函数 的图像关于 对称
C.函数 为偶函数 D.函数 的图像关于 对称
11．下列说法正确的是
A.数据 6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数为 7
B.若 ，且函数 为偶函数，则
C.若随机事件 A，B满足： ，则 A，B相互独立
D.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据
的平均数为 ，方差为 ；第二部分样本数据 的平均数为 ，方差
为 ，若总的样本方差为 ，则
12. 如图，已知正方体 的棱长为 2， 分别是棱 的中点， 是侧
面 内(含边界)的动点，则下列说法正确的是
A.若直线 与平面 平行，则三棱锥 P－AEF 的
体积为
B.若直线 与平面 平行，则直线 A1B1上存在唯一
的点 Q，使得 DQ 与A1P始终垂直
C.若 ，则 EP 的最小值为
D.若 ，则 的最大值为
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 已知函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线
垂直，则切线的方程为_____________．
14. 的展开式中的常数项为_____________．
15. 若函数 在 内存在唯一极值点，且在 上单调递
减，则 的取值范围为_____________.
16. 已知数列 满足首项 ， ，则数列 的前 2n项的和为__
___________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分 10 分)
已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 的值．
18．(本小题满分 12 分)
如图，在梯形 中，AD//BC，且 ， .
(1)若 ， ，求梯形 的面积；
(2)若 ，证明： 为直角三角形．
19．(本小题满分 12 分)
如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点 G为 的中点，DE
为半个圆柱上底面的直径，且 ，
．H为BC 的中点．
(1)证明：平面 DEH 平面 GCF；
(2)若Q是线段 HE 上一动点，求直线 AQ 与平面 GCF
所成角的正弦的最大值．
H
第19 题
图
A
BC
D
第18 题图
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