河南省郑州市2022-2023高二上学期期末考试数学试题

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高二数学评分参考
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D B A B A D A C B
二、填空题
13．
5❑
√
2
；14．
2x+2y+3=0
；15.
(−3,1)
；16．
❑
√
3+1
.
三、解答题
17．（1）根据空间直角坐标系可得：
E
(
a , x ,0
)
，
F
(
a − x , a , 0
)
.…………4 分
（2）∵
A1
(
a , 0, a
)
，
，
∴
⃗
A1F=
(
− x , a ,− a
)
，
⃗
C1E=
(
a , x − a , − a
)
.…………6 分
即
⃗
A1F⋅
⃗
C1E=− ax+a
(
x −a
)
+a2=0
，…………8 分
∴
⃗
A1F⊥
⃗
C1E
，故
A1F⊥C1E
.…………10 分
18．（1）由已知
AB
边中点坐标为
(1,3
2)
，中线斜率为
k=
3
2+2
1−2=−7
2
，…………2 分
中线所在直线方程为
y+2=−7
2(x −2)
，即 ；…………5 分
（2）①当直线过原点时，斜率为
k'=3
4
，直线方程为
y=3
4x
，即 ，…………7
分
②直线不过原点时，设直线方程为 ，则
4
a+3
a=1
，
a=7
，…………10 分
直线方程为
x
7+y
7=1
，即 ，
所以所求直线方程为 或 ．…………12 分
19.（1）抛物线的顶点在原点
O
，焦点在
y
轴上，且过点
A
(
2,1
)
，则抛物线开口向上，…2
分
设抛物线
x2=2py
(
p>0
)
，
因为抛物线过点
A
(
2,1
)
，所以
4=2p
，解得
p=2
.
所以所求的抛物线方程为 ；…………5 分
（2）因为
OA ⊥OB
，所以
kOA ⋅kOB=−1
，
由
kOA =1
2
，所以
kOB =−2
.…………7 分
所以
OB
的方程
y=−2x
，由
{
y=−2x，
x2=4y，
解得
B
(
−8,16
)
，…………10 分
所以
|
AB
|
=❑
√
1 02+152=❑
√
325=5❑
√
13
，即线段
AB
的长为
5❑
√
13
.…………12 分
20.（1）由题意知，圆 C的圆心为（2，3），半径 r＝2.…………1 分
①当斜率不存在时，直线 l的方程为 x＝4，此时圆 C与直线 l相切；…………3 分
②当斜率存在时，设直线 l的方程为 y＋1＝k（x－4），即 kx－y－4k－1＝0，
则圆心到直线的距离为
d=r
即
|
2k −3−4k −1
|
❑
√
1+k2=2
，解得
k=−3
4
，…………5 分
所以此时直线 l的方程为 3x＋4y-8＝0.
综上，直线 l的方程为 x＝4或3x＋4y-8＝0.…………6 分
（2）当直线 l的倾斜角为 135°时，直线 l的方程为 x＋y-3＝0，…………8 分
圆心到直线 l的距离
d=
|
2+3−3
|
❑
√
2=❑
√
2
.…………10 分
故所求弦长为：
2❑
√
r2−d2=2❑
√
22−❑
√
22=2❑
√
2
.…………12 分
21．（1）以
A
为原点建立如图所示空间直角坐标
系，则
M
(
1,0,0
)
, P
(
0,0,2
)
,C
(
2,2,0
)
, N
(
1,1,1
)
, D
(
0,2,0
)
.
2分
⃗
MN =
(
0,1,1
)
,
|
MN
|
=❑
√
2
.…………5 分
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