河南省平许济洛四市联考2023-2024学年高三上学期第一次质量检测 数学参考答案

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平许济洛 2023-2024 学年高三第一次质量检测
数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
C
C
A
D
B
二．选择题
9
10
11
ABD
CD
ACD
三．填空题
13. 11 14. 75
15.
2
11
16.
30
3
四、解答题
17.解：（1）∵
)cos(cossin)( 222 BAabBBbac +=−−
，
∴
BB
BA
ab
bac
cossin
)cos(
222 +
=
−−
……………….…….. ……….………….………….……1 分
∴
B
C
C2sin
cos2
cos2 −
=−
,……………….………….………….………….………….…..3 分
∵
C
是锐角，∴
Ccos
≠0，
∴
B2sin
＝1，
∵0＜B＜
π
2
，即 0＜2B＜π，
∴2B＝
π
2
，即 B＝
π
4
；………………. ……….………….………….………….……..5 分
（2）∵sinB＝
2
2
，
∴S△ABC＝
1
2
acsinB＝
2
4
ac，……………….…………….………….………..……..6 分
{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}
∵b＝2，cosB＝
2
2
，
∴由余弦定理得：22＝a2+c2﹣2ac×
2
2
≥2ac﹣
2
ac，……………….…..……..8 分
∴（2﹣
2
）ac≤4，即 ac≤2（2+
2
），
∴S△ABC＝
2
4
ac≤
2
4
×2（2+
2
）＝
2
+1，
当且仅当
4 2 2ac= = +
时，等号成立，
∴△ABC 的面积的最大值为
2
+1．……………….………….………….……..…..10 分
18. 解： (1)由
2
24
1
3n
n
n n S
nn
S
+ + −
++=
，得
2 2 2
( 4) 3( 1) 0
nn
S n n S n n− + + + + + =
，
即
2
( 3) ( 1) 0
nn
S S n n

− − + + =

，解得
3
n
S=
(舍)或
21
n
S n n= + +
，……….…2分
当
1n=
时，
11
3aS==
，
当
2n
时，
2
12
1 ( 1) ( 1) 1 2
n n n
a S S n n n n n
−+ + − − − − −= ==−
，……….…….4分
所以，
3, 1,
2 , 2
n
n
ann
=
=
. ………….………….………….……..……………………5分
(2)
3
1 2 4
1 2 3 4
( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ... ( 1) 2 n
aa
a a a
nn
T a a a a a= −  + −  + −  + −  + + − 
3 4 6 8 2
2 2 3 2 5 2 7 2 ... (2 1) 2 n
n= +  +  + + + −
2 3 4
16 3 4 5 4 7 4 ... (2 1) 4n
n= +  +  +  + + −
1 2 3
12 1 4 3 4 5 4 ... (2 1) 4n
n= +  + + + + −
……….………….……..…………………7 分
令
1 2 3
1 4 3 4 5 4 ... (2 1) 4n
n
Rn=  + + + + −
，①
则
2 3 4 1
4 1 4 3 4 5 4 ... (2 3) 4 (2 1) 4
nn
n
R n n +
=  + +  + + −  + −
，②
①-②得：
2 3 1
3 4 2 4 2 4 ... 2 4 (2 1) 4
nn
n
Rn
+
− = +  +  + +  − −
{#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}
11
32(1 4 )
4 (2 1) 4
14
nn
n
−+
−
= + − −
−
11
32 2
4 4 (2 1) 4
33
nn
n
++
= − + − −
1
20 5
( 2 ) 4
33
n
n+
= − + −
…………………………………………………………..……….10 分
所以
1
20 2 5
( ) 4
9 3 9
n
n
n
R+
= + − 
，
所以
1 1 *
20 2 5 128 (6 5)
12 ( ) 4 4 ,
9 3 9 9 9
nn
n
nn
T n N
++
−
= + + −  = +
. ………..……….12 分
19.解：（1）补全的 2×2列联表如下：
不喜爱
喜爱
合计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
合计
55
145
200
零假设为
0
H
：性别与对活动的喜爱程度无关．
根据表中数据，计算得到
706.2
319
300
8012014555
)25905530(200 2
2=
−
=
根据小概率值 α＝0.1 的独立性检验，没有充分证据推断
0
H
不成立，因此我们可以认为
0
H
成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．.……………………………..….4分
（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中 3道题”为事件 A，则
( )
34
34
44
3 1 3 189
CC
4 4 4 256
PA    
= + =
   
   
．……………………………. ……………………….7分
②X的可能取值为 2，3，4
( )
22
26
4
8
CC 15 3
2C 70 14
PX= = = =
，
( )
13
26
4
8
CC 40 4
3C 70 7
PX= = = =
，
( )
04
26
4
8
CC 15 3
4C 70 14
PX= = = =
，…………………………………………………………….10 分
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