河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二下学期3月联考试题 数学 含解析
2022~2023 年度下学年创新发展联盟第一次联考
数 学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教 A版选择性必修第一册占 20%，选择性必修第二册占
60%，选择性必修第三册第六章第 1节占 20%。
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 现有 3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，
则不同的选法共有
A.5 种B.12 种C.20 种D.60 种
2. 已知数列{
an
}的前 n项和为 Sₙ,且 Sₙ=n²+2ⁿ,则a₃=
A.4 B.8 C.9 D.12
3. 已知某质点的位移
x
(单位：
m
)与时间
t
(单位：
s
)的关系式是
x=3t²+2t
,. 则质点在 2s 时
的瞬时速度为
A.14m/s B.16 m/s
C.7 m/s D.8 m/s
4. 用4种不同的颜色对图中 3个区域涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同
的涂法有
1 2 3
A.24 种B.36 种 C.48 种D.64 种
5. 设等差数列{
an
}的前 n项和为
an
，且 S₇>0,S₈<0, 则下列各项中值最大的为
A.
S4
a4
B.
S5
a5
C.
S7
a7
D.
S3
a3
6. 函数
f(x)
的图象如图所示,设
f(x)
的导函数为
f ' (x)
,则
f(x)· f '(x)>0
的解集为
A. (1,6)
B. (1,4)
C. (
− ∞ , 1
)
∪
(
6,+∞
)
D. (1,4)
∪
(
6,+∞
)
7. 已知数列{
an
}满足
a₁=16 ,(n+1)aₙ ₊ ₁=2(n+2)aₙ
, 则
aₙ
的前 100 项
和为
A.
25 ×2¹ ²⁰
B.
25 ×2¹ ³⁰
C.
25 ×2¹ ⁴⁰
D.
25 ×2¹ ⁵⁰
8. 已知
a=3
301 , b=2
201 , c=ln 101
100 ,
则
A.
a>b>c
B.
a>c>b
C.
c>a>b
D.
b>a>c
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 已知等比数列{
an
}的前
n
项积为
Tₙ, a ₃a₄a₅=1
,则下列结论正确的是
A.
a₄=1
B.
T₂=T₅
C.
T₇=7
D.
若a₁=1,则a₂=1
10. 已知圆
C₁:x²+y²−6y+5=0
和圆
C₂:x²+y²−8x+7=0
, 则下列结论正确的是
A.圆
C₁
与圆
C₂
外切
B.直线
y=x
与圆
C₁
相切
C.直线
y=x
被圆
C₂
所截得的弦长为 2
D.若
M , N
分别为圆
C₁
和圆
C₂
上一点,则
¿MN ∨¿
的最大值为 10
11. 若函数
f(x)=x²−1− alnx
有两个零点，则
a
的值可以是
A.-1 B.1 C.2 D.3
12. 意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列 {
an
}：1，1，2，3，5，8，13，
…，其被称为斐波那契数列，满足
a₁=a₂=1,aₙ ₊ ₁=aₙ+aₙ ₋ ₁
. 某同学提出类似的数列{
bn
}:1,3,4,7,11,18,…,满足
b₁=1, b ₂=3, bₙ ₊ ₁=bₙ+bₙ ₋ ₁
. 下列结论正确的是
A.
b2+b4+b6+…+b100=b101 −1
B.
b101 b99 − b100
2=5
C.设
{bₙ}
的前
n
项和为
Sₙ, b ₁₀₀ − S ₉₈=1
D.
b1
2+b2
2+b3
2+…+b100
2=b100 b101 −1
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分,把答案填在答题卡中的横线上.
13. 某书架的第一层放有 5本不同的数学书，第二层放有 8本不同的英语书.从这些书中任取
1本数学书和 1本英语书，共有 ▲ 种不同的取法.
14. 已知函数
f(x)=sin x
,则
lim
∆ x→ 0
f(π − 2∆ x )− f (π)
∆ x =¿
▲
15. 已知球 O的半径为 6，球心为 O，球 O被某平面所截得的截面为圆 M，则以圆 M为底面，
O为顶点的圆锥的体积的最大值为 ▲ .
16. 半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全
相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由 4个三角形和 4个正六
边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.若点 G在直线 BC 上，
且
⃗
BG=5
⃗
BC
,BC=1, 则 直 线 EF 与 直 线 AG 所 成 角 的 余 弦 值 为
▲ .
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分)
已知等差数列{
an
}的前 n项和为
Sₙ, bₙ
是等比数列，且
a₁=b₁=a₂b₂=1, a ₂(b₁+b₂)=a.₃
(1)求
{bₙ}
的通项公式及
Sₙ
;
(2)求数列{
1
Sn
+
an
}的前
n
项和
Tₙ.
18. (12 分)
将2个不同的红球和 2个不同的黑球放入3个不同的盒子中(可以有盒子不放球).
(1)若2个红球放入同一个盒子中，则不同的放法有多少种?
(2)若每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有多少种?
19. (12 分)
如 图 ,在 四 棱锥P-ABCD 中,PD⊥底 面 ABCD, 底 面 ABCD 是矩
形,PD=CD=1,BC=
❑
√
2
,M 为BC 的中点,
(1)证明:PB⊥AM.
(2)求二面角 B-AP-M 的平面角的余弦值.
20. (12 分)
已知函数
f(x)=xlnx+x³
.
(1)求曲线
y=f(x)
在点(1,
f
(1))处的切线方程;
(2)若
f(x)≥1
对任意的
x ≥ m
恒成立，求实数
m
的取值范围.
21. (12 分)
已知椭圆 C:
x2
a2+y2
b2=1
1
¿
),四点
P1
(0,
❑
√
2
),
P2
(1,
1
),
P3
(
❑
√
2
,1),
P4
(
−❑
√
2
,1) 中恰有三点在 C
上.
(1)求C的方程;
(2)若圆
x2
+
y2=4
3
的切线
l
与C交于点A,B,证明:OA⊥OB,
22. (12 分)
已知函数
f(x)=ln x − ax .
(1)讨论
f(x)
的单调性;
(2)若函数
g(x)=f(x)− x ²
有两个零点
x₁, x ₂(x₁<x₂)
, 求
a
的取值范围，并证明
x₁x₂>1
.
2022~2023 年度下学年创新发展联盟第一次联考
数学参考答案
1. B 从油画中选，有 3种不同的选法；从国画中选，有 4种不同的选法；从水彩画中选，
有5种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有 3+4+5=12 种不同的选法.
2. C
a₃=S₃− S ₂=3²+2³ −(2²+2²)=9
.
3. A
x ' =6t+2
, 质点在 2s 时的瞬时速度为 6×2+2=14m/s.
4. B 先涂区域 1，有 4种涂法；再涂区域 2，有 3种涂法；最后涂区域 3，有 3种涂法.故不
同的涂法有 4×3×3=36 种.
5. A 因为
S₇=7a₄>0, S ₈=4(a₄+a₅)<0
, 所以
a₄>0, a ₅<0
. 在{
Sn
}中,
S₄
最大,在{
an
}中,
a₄
是最
小的正数,所以
S4
a4
最大.
6. D 图象可得当
x<4
时,
f ' (x)>0
,当
x>4
时,
f ' (x)<0
.结合图象可得 𝑓(𝑥)⋅𝑓′(𝑥) > 0 的解集为
(1,4)∪(6,+
∞
).
7. D 因为
a₁=16
,
(n+1)aₙ ₊ ₁
=
2(n+2)aₙ
,所以
an+1
n+2=2an
n+1
,
a1
2=8
, 所以数列 {
an
n+1
}是以 8
为首项，2为公比的等比数列，则
an
n+1=2n+2
,即
aₙ=(n+1)2ⁿ⁺²
.设{
aₙ
}的前 n项和为
T
ₙ,
则
Tₙ=2×2³+3×2⁴+4×2⁵+⋯+(n+1)2n+2
,2𝑇𝑛 = 2×24 +3×25 +4×26 +⋯+(𝑛 +1)2𝑛+2,
两式相减，得−𝑇𝑛 = 2×23 +24 +25 +⋯+2𝑛+2 −(𝑛+1)2𝑛+3,
所以𝑇ₙ = 𝑛⋅2ⁿ⁺³,𝑇₁₀₀ = 100×2¹⁰³ = 25×2¹⁰⁵.
8. B 因为 𝑎−𝑏 =
3
301 −2
201
=
603−602
301×201
=
1
301×201
> 0,所以 a>b.设 𝑓(𝑥) = ln𝑥− (
2(x −1)
x+1
,
则𝑓′(𝑥)=
1
x−4
(x+1)2
=
(x − 1)2
x(x+1)2≥0
,故 𝑓(𝑥) = ln𝑥−
2(x−1)
x+1
在(0,+
∞
)上单调递增.
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