河南省TOP二十2023届高三上学期12月调研考试数学（理）试卷 含解析

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2022－2023 学年高三年级 TOP 二十名校十二月调研考
高三理科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．若复数 z满足 ，则 （ ）
A．B．1 C．D．2
3．已知 ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．a＜c＜b
4．将 6名志愿者分配到 3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到 1个小区，每个小区
至少分配 1名志愿者，若分配到 3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有
（ ）
A．60 种B．120 种C．180 种D．360 种
5．下列点中，曲线 的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的 S为1，则判断框内应该填入的条件是（ ）
A．B．C．i＜5 D．i＞5
7．有一组样本数据 ， ， ， ， ，该样本的平均数和方差均为 2，在该组数据中
加入 1个数 2得到新的样本数据，则两组样本数据相同的为（ ）
A．平均数和中位数 B．中位数和方差 C．方差和极差 D．平均数和
极差
8．已知数列 满足 ， ， ，则 的前 n项积的最大值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知四面体 ABCD 的各顶点都在球 O的表面上， ，E，F分别为
AB，CD 的中点，O为EF 的中点．若 ，直线 AC 与BD 所成的角为 60°，AB＜
EF，则球 O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知 O为坐标原点， ， ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 1 D． 的最大值为 2
11．已知抛物线 C： 的焦点为 F，A是C的准线与 x轴的交点，P是C上一点，
∠APF 的平分线与 x轴交于点 B，则 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为
偶函数．设 ，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．曲线 的一条切线经过点 ，则该切线的斜率为______．
14．已知双曲线 C： ，直线 x＝a与C的两条渐近线交于 A，B两
点，O为坐标原点，若 的面积为 ，则 C的离心率为______．
15．在 中，D为BC 边上一点，∠BAD＝90°，∠B＝∠CAD，若 ，
则______．
16．在空间中，如果将几何体绕着某条直线 l旋转一定角度 后与原来重合，我们称这个
变换过程为 l轴旋转对称变换，并称 的最小值为最小旋转角．已知三棱锥 A－BCD 的所
有棱长均为 1，将三棱锥 A－BCD 进行轴旋转对称变换，最小旋转角为 180°，若将三棱锥
A－BCD 绕着直线 l旋转 90°得到三棱锥 ，则两个三棱锥的公共部分的体积为_
_____．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列 为等差数列，数列 满足 ，且 ， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）证明： ．
18．（本小题满分 12 分）
电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的
绝缘材料耐热等级分为如下 7个级别：
耐热
等级 Y A E B F H C
绝缘
耐温
（℃
）
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产
的产品中各随机抽取 50 件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：℃），其频率分布直方图如
下：
（1）若 10 月份该企业采用甲工艺生产的产品为 65 万件，估计其中耐热等级达到C级的产
品数；
（2）若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择 1件，用频率估计概率，求 2件产品
中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在平行四边形ABCM 中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．以AC 为折痕将折起，
使点M到达点D的位置，且二面角 D－AC－B的大小为 120°．
（1）求 BD；
（2）设 P为BD 上一点，求直线 CP 与平面 ABD 所成角的正弦值的最大值．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C： 的长轴比短轴长 2，焦距为 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）已知 ， ，过点 P的直线 l与C交于 A，B两点，延长AQ 到D，延长
BQ 到E，且满足 轴．证明：D，E两点到直线 的距离之积为定值．
21．（本小题满分 12 分）
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