（河南湖南）湘豫联考2023届高三下学期2月入学摸底考试数学（理科）试题答案
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数 学 !
理 科 "
参 考 答 案 !第!
!!!! 页!
共!"页"
湘 豫 名 校 联 考
#"#$年#月高三春季入学摸底考试
数学!
理科"
参考答案
题 号 ! # $ % & ' ( ) * !" !! !#
答 案 + , - , - + . , , - . -
一#
选择题$
本题共!#小 题%
每小 题&分%
共'"分/
在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中%
只
有一项是符合题目要求的/
!!+
!&
解 析 '
由 题 意 得 !
集 合
"
0"
#
"
#
0123
$
!
$
#!
#
0$
4!
!
!
%!
%
0"
$
"
$
&
$
4$
'
$
"
#
0&
"
!
$
'!
故
"
%
%
0&
"
!
!
%
!
故 选 +!
#!,!&
解 析 '
因 为
&
0$42
%5&2
0&
$42
'&
%4&2
'
&
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'&
%4&2
'
0
(4!*2
%! 0(
%!4!*
%!
2
!
所 以 复 数
&
的 共 轭 复 数 是 (
%!5!*
%!
2!
故 选 ,!
$!-
!&
解析'
根 据 题 意 !
得
'
0&"
!
'
(
6
!"
(
0#""
#
!
解 得
'
0&"
!
6
!"
(
0%
#
!
故
)
&
$
'
0&"7%
!
!"
$
!
当
$
0$" 时!
)
&
$"
'
0&"7%
$0
$#""
!
故 选 -!
%!,!&
解 析 '
根 据
*
&
$
'
0#4%123
#
$
#
$
#5! 0#891#
$
#
$
#5!!
得
*
&
4
$
'
0#891
&
4#
$
'
#
&
4
$
'
#5!0#891#
$
#
$
#5!0
*
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$
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或
*
&
4
$
'
0
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#&
4
$
'
#
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4
$
'
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#4%123
#
$
#
$
#5! 0
*
&
$
''!
所 以
*
&
$
'
为偶函数!
排 除 -
)
令
$
0"
!
得
*
&
"
'
0#
!
排 除 +
)
因 为
*
!
! "
%0"
!
排 除 ./
故 选 ,/
&!-
!&
解 析 '
如 图 !
建 立 平 面 直 角 坐 标 系!
设 正 视 图 的 椭 圆 &
部 分 '
对应的标准方
程为
#
#
+
#5
$
#
,
#0!
&
+
&
,
&
"
'!
结 合 题 意 及 三 视 图 可 得
+
0)
!
,
0$
#
!
所 以 椭 圆 &
部 分 '
对
应 的 标 准 方 程 为
#
#
'%5
$
#
*0!
!
将 点 槡
$$
#!
#
! "
"代 入 !
可 得
#
"0 :%!
故 该 椭 球 形
状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为)5%0!#
&
米'
!
故 选 -/
'!+
!&
解 析 '
输 入
(
0!
!
第 一 次 循 环 *
!
#$
!5!"
!
(
0!5!0#
!
-
0"5!0!
)
第 二
次循环*
#
#$
#5!"
!
(
0#5!0$
!
-
0!5!0#
)
第 三 次 循 环 *
$
#$
$5!"
!
(
0$5
!0%
!
-
0#5!0$
)
第四次循环*
%
#&
%5!"
!
结束循环!
此 时
(
0% !
-
0$!
所 以 输 出
-
0$!
故 选 +/
(
!.
!&
解 析 '
由题可知!
数 列 "
+
-
5! 4
+
-
#&
-
#"
''
是 以
+
#4
+
!0! 为首项!
!为公差的等差数列!
所 以
+
-
5! 4
+
-
0!5&
-
4!
'
7!0
-
&
-
#"
''
!
所 以 &
+
#4
+
!'
5&
+
$4
+
#'
5+5&
+
-
5! 4
+
-
'
0
+
-
5! 4
+
!0!5#5 +5
-
!
所 以
+
-
5! 4
+
!0
-
&
-
5!
'
#!
所 以
+
-
5! 0
-
&
-
5!
'
#5#!
故
,
-
0!
+
-
5! 4#0!
-
&
-
5!
'
#5#4#
0#
-
&
-
5!
'
0# !
-
4!
-
! "
5! !
所 以 数 列 "
,
-
#
的 前
-
项 和
.
-
0# !4 !
#5!
#4!
$5+5!
-
4!
-
! "
5! 0# !4 !
-
! "
5! 0#
-
-
5!
!
故 选 ./
)
!,!&
解 析 '
因为
"
"%
"
0槡
$
#
"
)
!
)
#
"槡
0 $
/
!
所以
"
0"
"
0槡
$
/
#!
因为
(
"%
04槡
$
$!
所以 (
"0)
!0$";!
所以891
(
"0)
!0
槡
$
#!
根据余弦定理!
得
"
")
!
"
0"
0"
"
#5
"
0)
!
"
#4#
"
0"
"
(
"
0)
!
"
891
(
"0)
槡!0$
%
/
#5
/
#4#7槡
$
#
/
7槡
$
#
槡
/
0!
#
/
!
"
")
#"0"
0"
"
#5
"
0)
#
"
#4#
"
0"
"
(
"
0)
#
"
891
(
"0)
槡#0$
%
/
#5
/
#5#7槡
$
#
/
7槡
$
#
槡
/
0槡
!$
#
/
!
所 以
数 学 !
理 科 "
参 考 答 案 !第#
!!!! 页!
共!"页"
"
")
#
"
4
"
")
!
"
0槡
!$
#
/
4!
#
/
0#
+
!
故 双 曲 线
1
的 离 心 率 为
2
0%
槡
!$4!
0槡
!$5!
$!
故 选 ,!
*!,!&
解 析 '
设!""辆 汽 车 中 恰 有 )"辆 达 到标 准 时 的 概 率 为
*
&
3
'!
则
*
&
3
'
0-
)"
!""
3
)" &
!4
3
'
#" &
"
$
3
$
!
'!
则
*
4
&
3
'
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!""
3
(*&
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3
'
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)"4!""
3
'
!
当
3
#&
"
!
"!)
'
时!
*
4
&
3
'
&
"
!
所 以
*
&
3
'
在&
"
!
"!)
'
上 单 调 递 增 )
当
3
#
&
"!)
!
!
'
时!
*
4
&
3
'
$
"
!
所 以
*
&
3
'
在&
"!)
!
!
'
上单调递减!
所 以
*
&
3
'
在
3
0"!)处取得最大值!
所 以
5
&
6
)
'""
'
0
5
&
6
*
&""
'
0!4
5
&
6
)
&""
'
0!4"!)0"!#!
故 选 ,!
!"!-
!&
解 析 '
由题可 得!
.
+
"%1
0
.
+
"%7
5
.
+
%17
!
即!
#
+/
123 (
"%1
0!
#
%7
(
/
123 (
"%1
#5!
#
%7
(
+
123 (
"%1
#!
因为123(
"%1
#,
"
!
所 以 由 二 倍 角 公 式 可 得 #
+/
891 (
"%1
#0
/
5
+
!
即891 (
"%1
#0
/
5
+
#
+/
!
由余弦定理!
得
891 (
"%1
0
/
#5
+
#4%
#
+/
!
所 以
#
/
5
+
#
! "
+/
#
4!0
/
#5
+
#4%
#
+/
!
整 理 可 得 &
/
5
+
'
#0
+/
$&
/
5
+
'
#4%
%
!
所 以 &
/
5
+
'
#
0
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$&
/
5
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'
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%
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/
5
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'
#
%($&
/
5
+
'
#4%
%!
即&
/
5
+
'
#)
)
!
所 以
+
5
/
)槡
##&
当 且 仅 当
+
0
/
槡
0 #时!,
0-
成
立'
!
故+
"%1
周 长 的 最 小 值 为 槡
#5##!
故 选 -!
!!!.
!&
解 析 '
方法一*
由 题 可 得
"%
0)
!
因 为
"5
0
%5
!
所 以
.
+
"%5
0!
#7)7%0!'!
过 点
"
向 下 底 面 做 垂 线 !
垂 足 为
"
!!
则
""
!0
51
#4#
槡#槡
0 #"4%0%!
根据圆的性质!
得
1"
!0 %
#5#
槡#槡
0# &!
所 以
1"
0
%
#5&槡
#&'
槡#0'!
所 以
8
1
4
"%5
0!
$
.
+
"%5
(
""
!0!
$7!'7%0'%
$!
因 为
"1
0
%1
0'
!
所 以
.
+
"%1
0!
#7
槡 槡
)7 $'4!'0)&!
设 点
5
到 平 面
"%1
的距离为
9
!
则
8
5
4
"%1
0!
$
.
+
"%1
(
9
0!
$槡
7) &
9
0'%
$!
解 得
9
0
槡
)&
&!
故
51
与 平 面
"%1
所成的角的正弦值为
9
51
0
槡
)&
&
槡
#&0%
&!
故 选 .!
方法二*
如 图 !
设
0
为上底面的圆心!
因 为
"5
0
%5
!
所 以
"%
-
05
!
设
04
为 下 底
面 的 圆 心 !
所 以
"%
-
004
!
因 为
05
%
004
0
0
!
所 以
"%
-平 面
0045
!
因 为
041
.
05
!
所 以
041
/平 面
0045
!
所 以
"%
-平 面
501
!
所以平面
"%1
-平 面
501
!
因
为 平 面
"%1
%平 面
501
0
01
!
所 以
51
与平面
"%1
所 成 的 角 即 为 (
510
!
过 点
1
作
17
-
05
于 点
7
!
因 为
05
0%
!
041
0#!
所 以
07
0
75
0#!
因 为
51
槡
0# &!
所 以 123(
517
0
75
15
0槡
&
&!
所 以 891(
510
0!4#123
#(
517
0$
&!
所 以
123
(
510
0%
&!
故 选 .!
!#!-
!&
解析'
设
:
&
$
'
0!
$
$
$5
$
#4!!
)!
则
:
4
&
$
'
0
$
#5#
$
0
$
&
$
5#
'
!
令
:
4
&
$
'
$
"
!
得4#
$
$
$
"
)
令
:
4
&
$
'
&"
!
得
$
$4# 或
$
&"
!
故
:
&
$
'
在
&
4<!
4#
'
上 单 调 递 增 !
在&
4#
!
"
'
上单调递
减!
在&
"
!
5<'
上 单 调 递 增 !
所 以
:
&
4$
'
0
4!!
)!
:
&
$
'
极小值 0
:
&
"
'
0 4!!
)!
:
&
$
'
极 大 值 0
:
&
4#
'
04 !
#%!
:
! "
$
#0#!
设
;
&
$
'
0!!
!'&
$
5
!
'!
则
;
&
4$
'
04!!
)!
令
;
&
$
'
0#
!
得
$
0#!
!!!
在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数
:
&
$
'
和
;
&
$
'
的图象!
如 图
数 学 !
理 科 "
参 考 答 案 !第$
!!!! 页!
共!"页"
所 示 !
联 立
#
0!!
!'
&
$
5!
'!
#
0!
$
$
$5
$
#4!!
)
0
1
2!
消 去
#
得!
$
$
$5
$
#4!!
)0!!
!'&
$
5!
'!
化简得!'
$
$5%)
$
#4$$
$
4**0"!
整 理 得
&
!'
$
#4$$
'&
$
5$
'
0"
!
解得
$
04$或
$
04 槡
$$
%或
$
0槡
$$
%!
若 函 数
*
&
$
'
0
!!
!'
&
$
5!
'!
4$
*
$
*
(
!
!
$
$
$5
$
#4!!
)!
(
$
$
*
0
1
2$
#
的
值 域 为 4!!
)!
$ %
#!
由 数 形 结 合 易 知 4$
*
(
*槡
$$
%!
故 选 -!
二#
填空题$
本题共%小题 %
每小 题&分%
共#"分!
!$!%
!&
解 析 '
因 为
$
&"
!
#
&"
!
所以由基本不等式得%0槡
$
5#
槡
#
)#槡
$
(
#
槡槡
#
!
所 以 槡
$
(
#
槡槡
#
*#
!
得
$
槡
#
*
#
!
所 以
$
#
*
%
!
当 且 仅 当
$
0%
!
#
0!时 取 等 号 !
所 以
$
#
的最大值是%!
!%!!&
!&
解 析 '
因 为 &
#
$
$5!
'
$
4!
$
! "
#
&
0#
$
$
$
4!
$
! "
#
&
5
$
4!
$
! "
#
&
!
且
$
4!
$
! "
#
&
的 展 开 式 为
<
=
5! 0-
=
&(
$
&4
=
(4!
$
! "
#
=
0-
=
&(&
4!
'
=
(
$
&4$
=
!
故
$
#的 系 数 为 #-
#
&(&
4!
'
#5-
!
&(&
4!
'
!0!&!
!&!4%
$!&
解 析 '
根 据 题 意 !
*
&
$
'槡
0 &123
&
$
5
!
'891
!
0槡
#&
&!
123
!
0槡
&
! "
&!
因 为 3
"
#!
!
4
$
#!
!
*
&
$
'
*
*
&
"
'!
所 以
*
&
"
'
0
*
&
$
'
=>? 槡
0 &!
所 以
"
5
!
0#
(
!
5!
#!
(
##!
所 以 891
"
0123
!
!
123
"
0891
!
!
所 以 @>3
"
0
891
!
123
!
0#!
故@>3#
"
0#@>3
"
!4@>3
#
"
04 %
$!
!'!槡
#6
*
!
%!
槡
#6
!(
!
! "
%!&
解 析 '
方 法 一 *
因 为
*
&
$
'
06
$
5
+
891
$
!
:
&
$
'槡
0 #
+
123
$
5!
! "
%!
所 以 由
*
&
$
'
0
:
&
$
'!
得
6
$
0
+
123
$
!
所 以 方 程 6
$
0
+
123
$
在&
"
!
5<'
上 有 且 仅 有 %个 实 数 根 !
因 为
+
&
"
!
所 以 !
+
0123
$
6
$
!
令
!
&
$
'
0
123
$
6
$
!
则
!
4
&
$
'
0
891
$
4123
$
6
$
!
令
!
4
&
$
'
&
"
!
即891
$
&
123
$
!
所 以
$
#"
!
!
! "
%5&
!
%5#
(
!
!
*
!
%5#
(
! "
!!
(
#
"
!
所 以
!
&
$
'的 单 调 递 增 区 间 为 "
!
!
! "
%!&
!
%5#
(
!
!
*
!
%5#
(
! "
!!
(
#"
!单调递减区间为
!
%5#
(
!
!
&
!
%5#
(
! "
!!
(
#"!
因 为
+
&"
!
所 以 !
+
&"!
因 为
!
!
! "
%0
123 !
%
6
!
%
0
槡
#
#
6
!
%
!
!
*
!
! "
%0
123
*
!
%
6
*
!
%
0
槡
#
#
6
*
!
%
!
!
!(
!
! "
%0
123
!(
!
%
6
!(
!
%
0
槡
#
#
6
!(
!
%
!
易 知
!
!
! "
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!
*
!
! "
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!
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!
! "
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所 以
槡
#
#
6
!(
!
%
$!
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