湖北荆荆宜2023届高三五月三校联考 数学

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2023 年高三下学期 5 月三校联考
高三数学试卷
命题学校：宜昌一中 命题教师：高三数学备课组 审题学校：荆州中学、龙泉中学
考试时间：2023 年5月18 日下午 15:00—17:00 试卷满分：150 分
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共 8小题，每一小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 中恰有两个元素，则实数 的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知复数 是关于 的方程 （ ）的一个解，则复数 在复平面内对应
的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，且 ．若 ，则
A．B．C．D．
4．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最
大夹角为 ．现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为 ，高为 ．现在为了节
省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分
呈圆锥形．已知该容器的底面半径为 ，则该容器的高至少为
A．B．C．D．
5．若 ， ，则 等于
A．B．C．D．
6．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为 ．若该同学上午不去打
球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为 ．已知该同学在某天下午去游了
泳，则上午打球的概率为
A．B．C．D．
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于点 ， ．直
线
为 在点 处的切线，点 关于 的对称点为 ．由椭圆的光学性质知， ， ， 三点共线．
若
， ，则
A．B．C．D．
8．设函数 ，若正实数 使得存在三个两两不同的实数 ， ， 满足 ， ，
， 恰好为一个矩形的四个顶点，则 的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知正四棱锥 的所有棱长相等， ， 分别是棱 ， 的中点，则
A．B． 面
C．D． 面
10．某学校一同学研究温差 与本校当天新增感冒人数 (人)的关系，该同学记录了 5天的数据：
568912
17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 ，则
A．样本中心点为 B．
C． 时，残差为 D．若去掉样本点 ，则样本的相关系数 增大
11．已知函数 在 上有最大值，则
A． 的取值范围为 B． 在区间 上有零点
C． 在区间 上单调递减 D．存在两个 ，使得
12．在平面直角坐标系 中，已知点 是圆 上的一个动点，直线
与
圆 交于另一点 ，过点 作直线 的一条垂线，与圆 交于点 ，则下
列说法正确的是
A．B．
C．若 ，则 D． 的最大正切值为
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知 的展开式的第 7项为常数项，则正整数 的值为________．
14．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为________．
15．科拉茨是德国数学家，他在 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就
将
它减半（即）；如果 是奇数，则将它乘 3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步
后，
一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数 （首项）按照
上述规则施行变换后的第 8项为 1（注：1可以多次出现），则满足条件的 的所有不同值的和为___
_____．
16．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ， ， 是其准线上的两个动点，且
，线段， 分别与抛物线 交于 ， 两点．记 的面积为 ， 的面积
为 ．当 时， ________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知数列 的各项均不为 0，其前项和 满足 ， ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前项和 ．
18．（12 分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
19．（12 分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ，点 为棱 的中点， ．
（1）求证： ；
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