菁师联盟·河南省2023-2024学年高三上学期12月学情调研 数学答案

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数  学
参考答案、解析、评分细则
1. 解析：根据题意：
( )
( )( )
11 11
(1 ) 1 1 1 2 22
ii
ii
iz i z i
i ii
−+
+ =⇔= = = =+
+ +− ，所以 2
2
z=，故选 B.
2. 解析：根据题意：
( ) ( )
{ }
2
, 0,0 ,(1,1)
yx
A B xy
yx

=
 
∩= =
 
=


，故选 C
3. 解析：根据题意，令 12 12
tt
ππ
αα
=− ⇔=+ ，可得 5
sin 5
t=，则 5
cos( ) sin
25
tt
π
+=− =−，
故选 A
4. 解析：对于 A， tan 4
x
y=，则 4
1
4
T
ππ
= = ，对于 B，函数 sin 2
x
y=的最小正周期为 4
π
；对于 C，
函数 sinyx=最小正周期为
π
，所以 2
π
也是它的一个周期，故 C 正确；对于 D， sin | |yx=，可
判断该函数为偶函数，根据图象该函数不是周期函数。故选 C.
5. 解析：根据题意： 2
nn
Sa=-1， 11
2
nn
Sa
−−
=-1，两式作差可得 1
2
nn
aa
−
=，当 1n=时， 11a=，所以
数列
{ }
n
a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 1
2n
n
a−
=，
( )
( )
4
415 60
12
5 6 12 8 9
4
... 2 2
Taa a aa
T=⋅ =⋅= =，
所以 12
2
4
log 60
T
T=，故选 D.
6. 解析：对 于 A，若两直线平行，则 2
111aaa
a
=⇔ =⇔=±
，所以“直线 30ax y−+=与直线
0x ay−=
互相平行”是“ 1a= − ”的必要不充分条件，故 A错误；对于 B，由直线 2cos 2 3 0xy
α
− +=，
得3
cos 2
yx
α
= ⋅+，所以斜率
[ ]
cos 1,1k
α
= ∈− ，设倾斜角为
θ
，则
[ ]
tan 1,1
θ
∈− ，又
[
)
0,
θπ
∈，所以
3
[0, ] [ , )
44
ππ
θπ
∈，故 B不正确；对于 C，设直线 2 ( 1)y kx−= −，则 2
(1 , 0), (0, 2 )A Bk
k
−−
，所以
( ) ( ) ( )
1 21 41 4
2 1 22 4 4
22 2
OAB
Sk k k
kk k
∆

 
=×− − =×+−− =×+−+ ≥

  
−
  
，当且仅当 2k= −
时成立，所以，此时直线的方程为 24yx=−+
，故 C正确；对于 D，若直线 : 10l kx y k+ − += ，得 ：
( )
: 1 10lx ky− + += ，所以直线恒过定点
( )
1, 1C−，因为 3
2
AC
k= − ，3
2
BC
k=，结合图象可知直
线的斜率 33
22
k  
∈ −∞ − ∪ + ∞


 
，， ，故 D不正确，故选：C
7. 解析：
( )
2 ln 2 2 ln(2 ) 2 ln 2 2 ln(2 )aab baa b b+=−++−⇔+=−+−
，设函数
( ) 2 lnfx x x= + ，分析可得函数 ()fx单调递增，所以可得 22a b ab=−⇔+=，
数学  第 1页（ 共 6页 ） 
{#{QQABCYKAogigABBAABgCEQHICEEQkBAACKoGgAAEoAIBQQNABAA=}#}
2
22
22
2 2 1, 2
22
a b ab
a b ab ab a b
++

=+≥ ⇔ ≤ ≥ ⇔ + ≥

 ，
( )
( )
14114 1 4 1 9
1 4 524
2 2 22
ba
ab
ab ab a b
 
+ = + + = ++ + ≥ × × =
 
 
，故 选 D.
8. 解析：根据题意：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
44 22 22
cos sin cos sin cos sin
fxxx xx xx
ωϕ ωϕ ωϕ ωϕ ωϕ ωϕ
  
= +− += +− + ++ +
  
( ) ( )
22
cos sin cos(2 2 )
xx x
ωϕ ωϕ ω ϕ
+− += +
由图可知
52
2 42
2 12 6 4 2
2
T
T
πππ π π
ωω
π
= − = ⇒= ⇒ = =⇒=
，
( ) ( )
cos 4 2
fx x
ϕ
= +
又
7
4 2 2, ,
6 2 12
kkz kkz
ππ π
ϕπϕπ
×+ =−+ ∈⇒=− + ∈
，又
，所以
5
1,
12
k
π
ϕ
= = ，所
以
( )
5
cos 4
6
fx x
π

= +


，
( )
6
5
cos 4 6
44gx
xx
π π

+


= −−
，令 6
4
64
t
tx x
π
π
+
= − ⇔= ，
所以
x
与
t
一一对应，故只需看 4 cos
tt
=的根的个数即可，根据图象不难看出，两个函数共有
11 个交点，故选 C.
9. 解析：选 项 A ：若
// ,ab
αα
⊂
，不能判断直线
,ab
的位置关系，故 A 错误；
选项B：若
// , ,ab
αβ α β
⊂⊂
，不能判断直线
,ab
的位置关系，故 B 错误；
选项 C ：根据面面垂直的性质定理可得 C 正确；
选项D：若
,ab
βαβ α
⊂⊥ ⊂
，，不能判断直线
,ab
的位置关系，故 D 错误；
故选：ABD
10. 解析：如图所示，
1 31
2 22
DE DC CE CA CB BE CB CA= +=− ++= −
         
，故 A 正确；
( )
21
22
33
CB BE CA AB BA AE AB AE AC= ⇔+= + ⇔ = +
        
，故 B 错误；
( )
200
BC BD BD BC BD BD DC BD
⋅= ⇔ − ⋅=⇔⋅=
       
，所以
BD AC⊥
，
又因为点 D 为 AC 的中点，所以 AB=BC，故 C 正确；
若
AB DE⊥
，设 ,CA a CB b= =
     
，则
( )
22
13 1 3
02
22 2 2
AB DE b a a b a b a b

⋅ == − − + =− ⋅+ +


   
   ，
设
( )
( )
, , 0, 0,a m b n ACB m n
θ θπ
= =∠ = >∈
、，
则22
3 33
4 cos 3 cos 2
4 4 44 2
m n mn
mn m n
n m nm
θθ
=+⇒ =+≥ ⋅=
，
当且仅当 3
mn
=时取得等号，
所以
ACB
∠
的最大值为
6
π
，故D正确.
故选 ACD
11. 解析：因 为
33
fx bb f x
ππ
 
+ −=− −
 
 
，所以函数
( )
fx
关于 ,
3b
π



中心对称，因为
数学  第 2页（ 共 6页 ） 
{#{QQABCYKAogigABBAABgCEQHICEEQkBAACKoGgAAEoAIBQQNABAA=}#}
( )
5
3
fx f x
π

= −


，所以函数
( )
fx
关于
5
6
x
π
=轴对称，所以函数
( )
fx
为周期函数，其周期为
5
42
63
T
ππ π
=× −= ，故
( )
5
()
33
fx f x f x
π
π

= − = −−


，所以A 正确；由于函数
( )
fx
关于
,
3b
π



中心对称，所以
( )
gx
关于
3
x
π
=对称，所以
( )
2
3
gx g x
π

= −


，选项 B 正确；由于没有
明确的解析式，所以C错误；因为函数
( )
fx
关于 ,
3b
π



中心对称，所以函数
( )
3
hx f x b
π

= +−


为奇函数，函数
( )
hx
的最大值与最小值之和为 0，所以 3
fx
π

+


的最大值
与最小值之和为
2b
，所以函数
( )
fx
的最大值与最小值之和为
2b
，
22 1bb=⇒=
，选项 D 正确；
故选 ABD
12. 解析：对于选项 A，当
( )
1, 0P−
，AB 为直径时，
1
2
PAB A B
S PM y y
∆= − （其 中 A
y
为点 A的纵坐标），
所以当点 A 为（2,1）时，三角形 PAB 的面积最大，
( )
max
123
2
PAB
S PM r
∆
= ×=
，所以 A 正确；对于
选项 B，设
APM
θ
∠=
，则
BAM APM
θ
∠=∠=
，所以
2cos
AB
θ
=，
θ
越大， AB 越小，当点 P 在
（-1,0）处时，
θ
最大，此时
1 22 42
sin cos ,
33 3
AB
θθ
= = =，，即 min
42
3
AB =，选项 B 正确；对于
选项 C，当点 P 在（-1,0）处时，且 PA，PB 为切线时，
APB∠
最大，此时
12
sin ,
32
APM
∠=<
即
45 , 2 90APM APB APM∠<°∠=∠<°
，所以不存在符合的点；故选项 C 不正确；对于 D 选项，设 AB
的中点 D，则
MD AB⊥
，
2
2
11
22
MD r AB

=−=


，所以点 D 在以 M 为圆心，
1
2
为半径的圆上，
2PA PB PD+=
  
，设小圆半径为
1
r，则 1
max
1
13
2
PD PM r
= += +
 
，则 PA PB+
  
的最大值为
2 13 1+
，D 正确 . 故选 ABD
13. 解析：0
11
ln 3
y xb y x e
xe
′
= −+⇔ = = ⇔ =
，所以切点为
( )
,4eb
−，切点在直线
121y xa
e
= ++
上，可得
22ab+=
14. 解析：因为函数
()fx
是定义在
[ 4, 2 1]mm−− +
上的奇函数，所以有
(2 1) ( 4) 0 3mm m+− + =⇔ =
，所以
( )
3
(3) ( 3) log 3 2 3ff
=−−=− + =−
.
15. 解析：根据题意：底面为边长为 3 的等边三角形，点
M
为底面的中心，过点
M
作底面的垂线
1
l
，
与平面
PAB
平行，点
N
为
PAB
的外心，过点
N
作平面
PAB
的垂线
2
l
与
1
l
交于点
O
为该几何体外
接球的球心，所以该外接球的半径
R
，三角形
PAB
的外接圆半径
r
，
3
2 23 3
sin
3
rr
π
= = ⇔= ，
2
22 2
3 15
24
Rr R

=+ ⇔=



，所以该几何体的外接球的表面积为 2
4 15SR
ππ
= =
.
16. 解析：根据题意，分析可得，设
1
am=
，当 n=1 时，
32am= +
，当
3n=
时，
510am= +
，
当
5n=
时，
724am= +
，
944am= +
，
11 70am= +
，
13 102am= +
,
15 140am= +
,
当
2n=
时，
24
5aa+=
，当
6n=
时，
68
17aa+=
，
10 12 29aa+=
，
14 16 41aa+=
数学  第 3页（ 共 6页 ） 
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