广西贵港市2023-2024学年高三上学期12月模拟考试 数学答案

3.0 envi 2024-12-11 5 4 310.64KB 7 页 3知币
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答案 第 1页，共 6页
贵港市 2024 届普通高中毕业班 12 月模拟考试
数 学 参考答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．由题意，集合
{ | 2 4}
x
P x 
，
3
{ | 0}
x
Q x x
 
，所以
{ | 2}P x x 
，
{ | 0 3}Q x x  
，所以
{ | 0 2}P Q x x  
，选 B
2．
(1 ) 1 1
1 (1 )(1 ) 2 2
i i
i
z i
i i i
 
 
，
1 1
2 2
z i  
．选 A
3．根据抛物线的定义：
4 6
2
p
MF  
，所以
4p
，因此抛物线方程：
，由于点
M
在抛物线上，
所以
2
032x
，
0
| | 4 2x
，
OFM
的面积：
0
1 1
| | | | 2 4 2 4 2
2 2
OFM
S OF x
 
，选 D
4．函数
cos( )
( ) e e
x x
x
f x
定义域为
R
，
cos( ) cos( )
( ) ( )
e e e e
x x x x
x x
f x f x
 
 
 
 
，即
( )f x
是偶函数，所以 A，
B不满足；当
0x
时，即
cos( ) 1x
，而
e e 2
x x
 
，因此
( 0 ) 0f
，D不满足，C满足．选 C
5．依题意，三棱锥
1 1 1
B A B C
的外接球即为正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的外接球，其半径为
42
4
2
2
4
R
 
，
所以
1 1
42 14
3
A B  
，所以
1 1 2 14 2 7A C  
，所以
1 1 A BC
的面积为
2
3( 2 7 ) 7 3
4 
，选 C
6．因为
(1 , 2 )a
，
( 2 , 1) b
，所以
2 2
| | 1 2 5  a
，
1 2 2 1 0   a b
，即
a b
，所以向量
a
与
b
的夹角为
2
，所以
| sin cos | | | 5
 
  a b a b a
，选 A
7．因为函数
( )f x
在
( , )
6 3
 
内单调递增，
3
x
是函数
( )f x
的一条对称轴，所以有
1 1 2 0 2
3 6 2 2 2 | |
T
 
 
，且
2 ( )
3 6 2
k k
 
 
Z
，
6 2k
 
，所以
2
，所
以
( ) sin( 2 )
6
f x x
 
，所以
5 5 2
( ) sin( 2 ) sin
24 24 6 4 2
f
 
 
，选 D
8．
lne ln
xx yy  
，
lne ln
xyy xx x   
，即
ln ln( e ) e
x x
x x y y 
，设
( ) lnf x x x 
，则
e( ) ( )
x
f x f y
，且
1
( ) +1 0f x x
 
，所以
( )f x
在
( 0 , ) 
上单调递增，正实数
x
，
y
满足
e( ) ( )
x
f x f y
等价于
ex
x y
，即
ln lny x x 
，
ln 1 ln 1
ln ln
x x
y x x
x x
 
 
，设
ln 1
( ) ln
x
g x x x
x
 
，
0x
，则
2
2 2
1 ( ln 1) 1 ln
( ) 1
xx x x
g x x
x x
   
 
，
(1) 0g
 
，设
2
( ) lnh x x x x 
，
0x
，则
1
( ) 2 1 2 2 1 0h x x x
   
，所以
( )h x
单调递减，且
(1) 0h
，所
以在
( 0 , 1)
上，
( ) 0h x
，
( ) 0g x
，
( )g x
单调递增，在
(1 , ) 
上，
( ) 0h x
，
( ) 0g x
，
( )g x
单
调递减，所以
max
( ) (1) 0g x g 
，当
1x
时，
1
e
y
，即
ln 1 ( 1)
xx y
x
 
最大值为 0，选 B
{#{QQABaYKUogigQBAAARhCQQHKCAOQkAEACCoGhAAAIAAAgBNABAA=}#}
答案 第 2页，共 6页
二、多选题：本题共 4小题，每小题分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．由图表可知，
2018
~
2022 这5年我国社会物流总费用逐年增长，
2019 年增长为
14.6 13.3 1.3 
万亿元，
2021 年增长为
16.7 14.9 1.8 
万亿元，故 A不正确；因为
6 70% 4.2 
，则
70%
分位数为第 5个，即
为
16.7
，所以这 6年我国社会物流总费用的
70%
分位数为
16.7
万亿元，故 B正确；由图表可知，
2017
~
2022 这6年我国社会物流总费用与
GDP
的比率的极差为
14.8% 14.6% 0.2% 
，故 C正确；由
图表可知，2019 年我国的
GDP
为
14.6 14.7% 99.3 
万亿元，故 D正确．故选 BCD
10．A选项，由
14
n n
a a
 
知
{ }
n
a
为等差数列，公差为
4
，首项为
114a
，所以通项公式为
14 4( 1) 4 18
n
a n n  
，故 A不正确；B选项，
1
( ) (14 18 4 )
2 2
n
n
n a a n n
S 
 
2
2 16n n 
，
故
2 16
n
Sn
n 
，则当
2n
时，
12 16 ( 2 18) 2
1
n n
S S n n
n n
   
，故
{ }
n
S
n
为等差数列，B正确；
C选项，
2 2
2 16 2( 4 ) 32
n
S n n n   
，故当
4n
时，
n
S
取得最大值，C错误；D选项，令
0
n
a
得
1 4n 
，令
0
n
a
得
5n
，则当
1n
或
2
时，
1 2 0
n n n n
b a a a
 
 
，当
3n
时，
30b
，当
4n
时，
40b
，当
5n
时，
0
n
b
，又
3 3 4 5 6 2 ( 2 ) 24b a a a  
，
4 4 5 6 2 ( 2) ( 6) 24b a a a    
，则
当
2n
或
4n
时数列
{ }
n
b
的前
n
项和取最大值，D正确．故选 BD
11．依题意，直线
0x y 
与圆
2 2 2
2: ( )yM rx  
相切，所以圆心
( 0 , 2 )M
到直线
0x y 
的距离
| 2 0 | 2
2r
 
，所以圆
M
的方程为
2 2
2: ( ) 2yM x  
．记点
( 0 , 5 )
为
E
，切点为
F
，则
| | 3ME
，
| | 2MF r 
，
MF EF
，
2 2
| | | | | | 9 2 7EF ME MF  
，故过
( 0 , 5 )
作圆
M
的切线，
切线长为
7
，A选项正确；
( 0 , 2 )M
到直线
3 0x y  
的距离为
| 0 2 3 | 2
2 2
2
r
   
，所以圆
M
上
恰有 3个点到直线
3 0x y  
的距离为
2
2
，故 B选项正确；
2
y
x
的几何意义为圆
M
上的点与定点
( 2 , 0 )
连线的斜率，所以圆
M
的切线过点
( 2 , 0 )
时，
2
y
x
取得最值，设
( 2 , 0 )
的切线方程为
( 2)y k x 
，即
2 0kx y k 
，圆心
( 0 , 2 )M
到直线
2 0kx y k 
的距离
2
| 0 2 2 | 2
1
k
k
 
，解得
2 3k 
，所以
2
y
x
最大值为
2 3
，故 C选项正确；圆心
( 0 , 2 )M
到直线
3 7 0x y  
的距离
2
| 0 2 7 | 10 2
2
3 1
   
，所以直线
3 7 0x y  
与圆
M
无公共点，故 D选项不正确．故选 ABC
12．对于 A，
1 1
A B CQ Q AB C
V V
 
，因为
1 1
//AC A C
，所以点
Q
到平面
1
AB C
的距离不变，所以三棱锥
1
Q AB C
的高不变，即三棱锥
1
A B CQ
的体积为定值，故 A正确；对于 B，若
1 1
A C
平面
BQC
，
BC
平面
BQC
，则
1 1
A C BC
，又
1 1 //B C BC
，所以
1 1 1 1
A C B C
，与
1 1 1 1
A B B C
矛盾，故 B不正确；对于 C，
因为
BC
为定值，当
Q
到
BC
的距离最长时，
BQC
面积的最大，所以
Q
在
1
A
处时，
BQC
面积的最大，
12 2A B
，
1
A B BC
，此时
12 2 2 2 2
2
BQC
S  
，故 C正确；对于 D，如图所示，以
D
为原点建立
空间直角坐标系
D xyz
，则
( 2 , 0 , 0)A
，
( 2 , 2 , 0 )B
，
( 0 , 2 , 0 )C
，
( , 2 , 2 )Q t t
，
0 2t 
，
( 2 , 2 , 2 )AQ t t  
，
( , , 2)CQ t t 
，
A
A
B
C
D
D
C
B
Q
x
y
z
第12 题
1
1
1
1
{#{QQABaYKUogigQBAAARhCQQHKCAOQkAEACCoGhAAAIAAAgBNABAA=}#}
答案 第 3页，共 6页
( 2 , 0 , 0 )BC  
，设平面
BQC
的法向量为
( , , )x y zn
，则
0
0
BC
CQ
 
 
n
n
，即
0
2 0
x
tx ty z
 
，令
2y
得
z t
，
0x
，
( 0 , 2 , )t n
，直线
AQ
与平面
BQC
所成角为
，则
2 2
| | | 4 |
sin | cos , | | || | 4 2( 2 ) 4
AQ
AQ AQ t t
   
n
n
n
4 3 2
4
2 4 10 16 24t t t t
 
，设
4 3 2
( ) 4 10 16 24g t t t t t 
，
0 2t 
，则
3 2
( ) 4 12 20 16g t t t t
   
，设
3 2
( ) 3 5 4h t t t t  
，则
2 2
( ) 3 6 5 3( 1) 2 0h t t t t
 
，又
( 0 ) 4 0h 
，
( 2) 2 0h 
，所以存在
0( 0 , 2 )t
使
0
( ) 0h t
，所以当
0
0t t 
时，
( ) 0g t
，当
02t t 
时，
( ) 0g t
，又
( 0 ) 24g
，
( 2) 16g
，所以
min
4 3
(sin ) 3
2 24
 
，故 D正确．故选 ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．
5
1
( 2 )x
x
展开式的通项为：
5
1 5
1
C ( ) ( 2 )
r r r
r
T x
x
 
，取
1r
，得到常数项为
3 1 4 1
5
1
C ( ) ( 2 ) 10x x
x
 
，
故答案为：
10
．
14．
2
( , )N
 
，
( 20 ) ( 26 ) 0.2 0.8 1P X P X   
，
( 20 ) 1 ( 26 ) ( 26 )P X P X P X    
，
20 26 23
2
 
，故答案为：23．
15．依题意，曲线上在点
P
处的切线与直线
0x y 
平行，此时点
P
到直线
0x y 
的距离最小，设切
点
0 0
( , )P x y
0
( 0)x
，
1
yx
，
0
11kx
 
，解得
01x
，
0ln1 0y 
，即
，
|1 0 | 2
2
1 1
d
 
，
故答案为：
2
2
．
16．由
2 1 1 2
3PF F PF F
 
知
P
点在右支上，设
1
PF
与
y
轴交于点
Q
，由对称性得
1 2
| | | |QF QF
，所以
1 2 2 1
QF F QF F  
，所以
2 2 1 2 1 1 2 2
2PF Q PF F QF F PF F PQF    
，
2
| | | |PQ PF 
，所以
1 2 1 1
| | | | | | | | | | 2PF PF PF PQ QF a  
，由
1 2
t1
2
an PF F
得
1 2
c2
2
os 5
Fc
PF a
 
，所以
4 5
5
c
ea
 
．故答案为：
4 5
5
．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）证明：
1n n
a S n
 
，
11 ( 2)
n n
a S n n
 
，
12 1 ( 2)
n n
a a n
 
，………………1 分
11 2 1 1 2 ( 2 )
1 1
n n
n n
a a n
a a
 
 
 
．又
2 1 1
1 1 3a S a    
，………………………………………3 分
所以当
2n
时，数列
{ 1}
n
a
是以 4为首项，2为公比的等比数列，………………………………4 分
2
1 4 2 2 ( 2)
n n
n
a n
 
，
2 1 ( 2)
n
n
a n  
，……………………………………………5 分
当
1n
时，
12a
不满足．所以
2 ( 1)
2 1 ( 2)
nn
n
an
 
．………………………………………………6 分
（2）证明：
1 1
1 2 1 2
1 2
2 2 1 1
( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1
n n
nn n n n
n n
ba a
 
 
 
 
 
，……………………………………8 分
1 2 2 3 3 4 1 2
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n n n
T b b b  
     
  
L L
2
1 1 1
3 3
2 1
n
 
．………10 分
{#{QQABaYKUogigQBAAARhCQQHKCAOQkAEACCoGhAAAIAAAgBNABAA=}#}
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