黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学 PDF版含答案（可编辑）

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1
哈师大附中 2023 级高二上期中考试
数学试题
一、单选题：本题共 8道小题<每个小题 5分<共40 分．在每小题给出的选项中<只有一项是符合题
目要求的．
1．抛物线
2
3 0y x 
的焦点坐标为（ ）
A．
3
0, 4
 
 
 
B．
3
0, 4
 
 
 
C．
1
0, 12
 
 
 
D．
1
0,12
 
 
 
2．直线
l
将圆
C
：
平分<且与直线
l
：
1
42 yx
平行<则直线
l
的方程为（ ）
A．
032 yx
B．
032 yx
C．
042 yx
D．
02 yx
3．A<B<C<D<E五人站成一排<如果 C<D必须相邻<那么排法种数为（ ）
A．48 B．24 C．20 D．16
4．如图<圆的半径为定长
r
<是圆内一个定点<是圆上任意一点<线段的垂直平分线与直线相交于点
<当点在圆上运动时<点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．圆
5．3D 打印是快速成型技术的一种<它是一种以数字模型文件为基础<运用粉末状金属或塑料等可粘合材料<通过逐
层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为 3D 打印的双曲线型塔筒<该塔筒是由离心率为 的双曲线的
一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的<已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为  cm<
下底直径为  cm<喉部（中间最细处）的直径为 cm<则该塔筒的高为（ ）
A．
cm B．cm C． 
cm D． cm
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2
6．已知椭圆
2
2
: 1
4
x
C y 
<则椭圆
C
上的点到点
0 1B（ ，）
的距离的最大值是（ ）
A．
2
B．
16
3
C．
4 3
3
D．
5
7．已知抛物线的方程为
24y x
<过其焦点
F
的直线交抛物线于
,A B
两点<若
3AF FB
 
<则
AB
（ ）
A．
2
B．3 C．
16
3
D．2
8．已知双曲线
C
：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0a
<
0b
）的离心率为
3
32
<右顶点为
A
<以
A
为圆心<
b
为半径作圆
A
<圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
<
N
两点<则有
MAN
（ ）
A．
30
B．
60
C．
90
D．
120
二、多项选择题：本题共 3道小题<每小题 6分<共18 分．在每小题给出的选项中<有多项符合题目
要求<全部选对的得 6分<部分选对的得 2分或 4分<有选错的得 0分．
9．已知方程
2 2
1
7 1
x y
t t
 
 
表示的曲线为 C<则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当
1 7t 
时<曲线 C是椭圆
B．当
7t
或
1t
时<曲线 C是双曲线
C．若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆<则
4 7t 
D．若曲线 C是焦点在 y轴上的双曲线<则
7t
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．两圆
2 2 4 4 0x y x y 
与
2 2 2 12 0x y x  
的公共弦所在的直线方程为
2 6 0x y  
B．圆
1
C
：
2 2 2 0x y x 
与圆
2
C
：
2 2 4 8 4 0x y x y   
恰有三条公切线
C．
 
1 1
,P x y
为圆
C
：
2 2 4x y 
上的点<则
 
 
2
2
1 1
1 2 2x y 
的最大值为 25
D．若圆
C
：
2 2 4x y 
上有且仅有两个不同
的
点到直线
l
：
0x y m 
的距离为 1<则
m
的取值范围是
2 3 2m 
11．已知点
 
0 0 0
, 0P x y x
是抛物线
1
C
：
24y x 
上一点<过点 P作抛物线
2
C
：
24y x
的两条切线 PM<PN<切点
分别为 M<N<H为线段 MN 的中点<F为
2
C
的焦点<则（ ）
A．若
01x 
<则直线 MN 经过点 FB．直线
PH y
轴
C．点 H的轨迹方程为
23
4
y x
D．
PFM PFN  
三、填空题：本题共 3道小题<每小题 5分<共15 分．
12．有 4封不同的信投入 3个不同的信箱<可有_____________种不同的投入方法．
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3
13．已知
P
是椭圆 上的一点<且在轴上方<分别是椭圆的左、右焦点<直线的斜率
为 <则󰒮的面积为_____________．
14．已知点
P
是双曲线
：
 左支上一点<
1 2
,F F
是双曲线的左、右两个焦点<且
1 2 2
,PF PF PF
与两条渐近线相交于
,M N
两点（如图）<点
N
恰好平分线段
2
PF
<则双曲线的离心率是___________．
四、解答题：本题共 5道小题<共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知直线
1: 2 1 0l x y  
<直线
2: 3 2 0l x y  
<
1
l
与
2
l
交于点
,A
点
(2, 2)B
．
（1）求线段
AB
的垂直平分线的方程；
（2）求过
,A B
两点<且圆心在直线
: 1 0l x y  
上的圆的标准方程．
16．（本小题满分 15 分）
已知
2y x
是双曲线
 
2 2
2 2
: 1 0, 0
x y
C a b
a b
 
的一条渐近线<点
 
2, 2
在
C
上．
（1）求
C
的方程．
（2）已知直线
l
的斜率存在且不经过原点<
l
与
C
交于
,A B
两点<
AB
的中点在直线
2y x
上．若
 
1,1M
<
MAB△
的
面积为
6
<求
l
的方程．
17．（本小题满分 15 分）
已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
<四点
1( 2,1)P
、
2(0,1)P
、
3
2
( 2, )
2
P
、
4
2
( 2, )
2
P
中恰有三点在椭圆
C
上．
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过点
4
P
且与
C
相交于
A
<
B
两点<若直线
4
P A
与直线
4
P B
的斜率的和为 0<求证：
l
的斜率为定值．
18．（本小题满分 17 分）
已知动圆过定点
 
2,0A
<且截
y
轴所得的弦长为 4．
（1）求动圆圆心
C
的轨迹方程；
（2）过点
 
5, 4Q
的直线交
C
的轨迹于
,A B
两点．
（ⅰ）若点
 
1,0F
<求
FA FB
的最小值；
（ⅱ）为
Q
在
x
轴上的投影<连接
AM
与
BM
分别交抛物线于
C D，
<问：直线
CD
是否过定点<若存在<求出该
定点；若不存在<请说明理由．
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