天津市红桥区2023届高三下学期一模数学答案

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参考答案
一、选择题 每题 5 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
A
D
D
C
D
B
D
A
二、填空题 每题 5 分
10.
1
11.
125
101
12.
15
13.
3 0x y 
14.
3
15.
2 2 2
1+ 3
9 3
（2分）， （ 分）
三、解答题
16.（本小题满分
分）
（Ⅰ）由余弦定理以及
2 2a
，
5b
，
13c
，
则
2 2 2 8 25 13 2
cos 2 2
2 2 2 5
a b c
Cab
 
 
 
，......................4 分
(0, )C
，
4
C
 
；....................................................5 分
（Ⅱ）由正弦定理，以及
4
C
，
2 2a
，
13c
，
可得
2
2 2
sin 2 13
2
sin 13
13
a C
Ac
 
；.........................8 分
（Ⅲ） 由
a c
，及
2 13
sin 13
A
，
可得
23 13
cos 1 13
A sin A 
，.......................................9 分
则
2 13 3 13 12
sin 2 2sin cos 2 13 13 13
A A A  
，............10 分
25
cos 2 2 cos 1 13
A A  
，............................................11 分
2 7 2
sin(2 ) (sin 2 cos 2 )
4 2 26
A A A
 
．.......................14 分
17.（本小题满分 15 分）
解：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A为坐标原点，设
1AB
,
依题意得
(0, 2,0)D
,
(1, 2,1)F
,
1(0, 0, 4)A
,
3
1, ,0
2
E 
 
 
（Ⅰ）解：易得
1
0, ,1
2
EF  
 
 
,
1(0, 2, 4)A D  
..................2 分
于是
1
1
1
3
cos , 5
EF A D
EF A D
EF A D
 
 
 
 
..........................4 分
所以异面直线
EF
与
1
A D
所成角的余弦值为
3
5
.......5 分
（Ⅱ）证明：已知
(1, 2,1)AF
,
1
3
1, , 4
2
EA  
 
 
 
,
1
1, ,0
2
ED  
 
 
 
因为
AF
·
1
EA
=0，
AF
·
ED
=0.................6 分
所以
1
AF EA
,
AF ED
,且
1
EA ED E 
................8 分
则
AF
平面
1
A ED
................9 分
（Ⅲ）解：设平面
EFD
的法向量
( , , )u x y z
，
则
0
0
u EF
u ED
 
 
,即
10
2
10
2
y z
x y
 
 
不妨令
1x
,可得
(1, 2, 1)
 
。................11 分
由（Ⅱ）可知
AF
为平面
1
A ED
的一个法向量。
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