重庆市荣昌中学校2024届高三上学期第二次月考试题 数学答案

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荣昌中学高 2024 级高三上期第二次月考数学试题
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合
 
 
 
ln 1 1 , e , R
x
A x x B y y x  
，则
A B
（ ）
A.
 
1,e 1 
B.
 
0,e 1
C.
 
1,e
D.
 
1,0
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数单调性结合指数函数性质可化简集合 A，B，后由集合交集定义可得答案.
【详解】因为
   
1 e
ln 1 1 ln 1 ln e 1 e 1
1 0
x
x x x
x
 
   
 
，则 A
 
 
1 e 1 1, e 1x x    
，
因为
，
e 0
xy=
，则
 
0,B 
，
所以
A B
 
0,e 1
.
故选：B.
2. 已知复数
z
满足
24 3iz 
，则
z
（ ）
A. 5 B.
5
C. 13 D.
13
【答案】B
【解析】
【分析】设
i, , Rz a b a b 
，利用复数的运算法则和复数相等，建立
,a b
的方程组，直接求出
,a b
，从
而可求出结果.
【详解】设
i, , Rz a b a b 
，则
2 2 2 2
( i) 2 i=4 3iz a b a b ab  
，所以
2 2 4
2 3
a b
ab
 
 
，
解得
3 2
2
2
2
a
b
 
或
3 2
2
2
2
a
b
 
，所以
2 2 5z a b  
.
故选：B.
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3. 已知 p：
0x y 
，q：
2 2
ln 1 ln 1 0x x y y   
，则 p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】令
2
( ) ln 1 , Rf x x x x  
,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.
【详解】令
2
( ) ln 1 , Rf x x x x  
，
(0) 0f
，
且
2 2
( ) ( ) ln 1 ln 1 ln1 0f x f x x x x x    
，
故
2
( ) ln 1f x x x  
为奇函数，
0x
时，
21x x 
递增，则
2
( ) ln 1f x x x  
也递增，
又
( )f x
为奇函数，则
( )f x
在
R
上递增，
p q
，若
0x y 
，则
x y 
，
则
 
f x f y 
，即
2 2
ln 1 ln 1x x y y   
即
2 2
ln 1 ln 1 0x x y y   
；
p q
，若
2 2
ln 1 ln 1 0x x y y   
，
则等价于
2 2
ln 1 ln 1x x y y   
，即
 
f x f y 
，
由
( )f x
在
R
上递增，则
x y 
， 即
0x y 
，
故p是q的充要条件，
故选：C.
4. 已知
3
sin( )
4 5
 
，则
sin
1 tan
的值为（ ）
A.
7 2
-60
B.
7 2
60
C.
7 2
-30
D.
7 2
30
【答案】B
【解析】
【分析】先求出
3 2
cos sin 5
 
 
，再求
7
sin cos 50
 
，再化简
sin
1 tan
即得解.
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【详解】解：由
3
sin( )
4 5
 
得
2 3 3 2
(cos sin ) , cos sin
2 5 5
   
 
，
所以
18 7
1 2sin cos , sin cos
25 50
   
 
，
所以
7
sin sin sin cos 7 5 7 7 2
50 = = =
sin 3
1 tan cos sin 50 60
3 2 30 2
1 2
cos 5
 
 
 
 
.
故选：B
5. 已知单位向量
, ,a b c
 
满足
0a b c  
 
，其中
 
1,0c
，则
2a b
在
c
上的投影向量是（ ）
A.
3 3
,
2 2
 
 
 
 
 
B.
3 3
,
2 2
 
 
 
 
C.
3,0
2
 
 
 
D.
3,0
2
 
 
 
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.
【详解】因为单位向量
, ,a b c
 
满足
0a b c  
 
，
所以
 
2 2 2 2 1
2 1 2
c a b c a b a a b b a b  
   
，
由投影向量计算公式可知
2a b
在
c
上的投影向量是
2 cos 2 , c
a b a b c
c
 
   
，
即
 
2 2
2
2
2 3
a b c
c a a b b c
c
 
 
故
2 2 3
2 3 2
a a b b c c  
 
，而
 
1,0c
，故
3 3 ,0
2 2
c 
 
 
 
.
故选：D
6. 已知数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，首项
11a
，且满足
13 2n
n n
a a
 
，则
11
S
的值为（ ）
A. 4093 B. 4094 C. 4095 D. 4096
【答案】A
【解析】
【详解】由递推公式确定通项公式
( 1) 2
n n
n
a 
，再求
11
S
即可.
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