陕西省商洛市2024届高三上学期12月第一次模拟检测试题+数学（理）+含解析.

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商洛市 2024 届高三第一次模拟检测
数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合
A={x∨x²−x−6≤0}，B={−3，−2，0，2，3}
，则
A ∩ B
=（ ）
A . {−3，−2，0，2}B . {−2，0}C .{−2，0，2，3}D. {0，2}
2.复数
z=1+2i
4+3i
在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知
a=0.91.1 ，b=log1
2
1
3，c=log1
3
2，
则（ ）
A . a>b>c B . a>c>b C .c >a>b D .b >a>c
4.在
△ABC
中，角
的对边分别是
a，b，c，若3a=4b，A=2B
，则
cosB
=（ ）
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
8
D.
3
4
5.根据国家统计局发布的数据，我国今年 3月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列
说法错误的是（ ）
A.我国今年 3月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速最高为 18.4%
B.我国今年 3月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为 6.55%
C.我国今年 3月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的极差为 14.9%
D.我国今年 3月份至 10 月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为 8.125%
6.将一个底面半径为 3，高为 4的圆柱形铁块熔化为铁水，恰好制成一个实心铁球，则该实心铁球的半径是（
）
A.2 B.3 C.4 D.6
7.已知
sin
(
α+5π
2
)
=3 sin
(
α−π
)
，
则
tan2 α
=（ ）
A.
3
4
B .−3
4
C.
4
3
D. -
4
3
8.已知抛物线 C.
y²=6x，
过点 A（4，2）的直线 l与抛物线 C 交于 M，N两点，若
MA=
⃗
AN ，
则直线 l
的斜率是（ ）
A.
2
3
B.
3
4
C.
4
3
D.
3
2
9.在正四面体 ABCD 中，E，F 是棱 BC，AB 的中点，则异面直线 DE 与CF 所成角的余弦值是（ ）
A .
❑
√
5
5
B . 2❑
√
5
5
C.
1
6
D .
❑
√
35
6
10.已知函数.
f
(
x
)
=2
(
x−1
)
eˣ−x²−ax
在 R上单调递增，则 a的最大值是（ ）
A.0 B.
1
6
C. e D.3
11. 已 知
A，B
是 直 线
y=❑
√
3
2
与函 数
f
(
x
)
=sin
(
ωx+π
6
)
（ω>0）
图 象 的 两 个相 邻 交 点 ， 若
¿AB∨¿
¿π
6，
则
ω
=（ ）
A.4 B.4 或8 C.2 D.2 或 10
12.已知函数
f（x）=¿log ₂∨x∨¿，x∈（−1，0）∪（0，4¿
.若关于
x
的方程
f（x）=a
有3个
实数解
x₁，x₂，x₃
，且.
x₁<x₂<x₃，
则
16
x3
−1
x1x3
−1
x1x2
的最小值是（ ）
A.8 B.11 C.13 D.16
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知单位向量
a，b
满足|
¿a+2b∨¿❑
√
7，
则向量
a，b
的夹角是 .
14.
(
x−2
x3
)
6
的展开式中，含
x²
项的系数是 .（用数字作答）
15.已知某比赛在六支队伍（包含甲、乙两支队伍）之间进行，假设这六支队伍的水平相当，则甲、乙这两支
队伍都进入前 3名的概率是 .
16.过双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1（a>0，b>0）
的右焦点
F₂
作 C的一条渐近线的垂线，垂足为
A
，且
C
的左
顶点为
B
，
¿AB∨¿2ab
❑
√
a2+b2，
则C的离心率为 .
三、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题:共 60 分.
17.（12 分）
在等差数列
{an}
中，
a₂+a₅=12 ，a₆=11.
（1）求
{an}
的通项公式;
（2）若
bn=2an，
求数列
{bₙ}
的前
n
项和
Sₙ
.
18.（12 分）
镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗
园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），
[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取 10 颗，再从这 10 颗板栗中随机
抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70 克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望.
19.（12 分）
如图，在三棱柱
ABC−A₁B₁C₁
中，AA₁⊥平面
ABC ，△ABC
是等边三角形，且
D
为棱
AB
的中点.
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