山东师范大学附属中学2024届高三下学期6月考前适应性测试 数学 Word版含答案

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山东师大附中高三考前适应性测试
数学试题 2024.6
试卷类型 A
本试卷共 4页，19 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合
M={ x∨x=k+1
2, k ∈Z}
，
N={x∨x=k
2+1,k ∈Z}
，则
A．
M⊆N
B．
N⊆M
C．
M=N
D．
M ∩ N =⌀
2．已知角
α
的顶点与坐标原点重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
cos
(
α+π
6
)
=¿
A．0 B．
1
2
C．
❑
√
2
2
D．
❑
√
3
2
3．等比数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，若
Sn=t⋅2n −1−1
，则
t=¿
A．2 B．
−2
C．1 D．
−1
4．一组数据按从小到大的顺序排列为 1，4，
m
，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的
3
5
，则该组数
据的第 45 百分位数是
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知
△ABC
是边长为 1的正三角形，
⃗
AN =1
3
⃗
NC
，
P
是
BN
上一点，且
⃗
AP=m
⃗
AB+2
9
⃗
AC
，则
⃗
AP ⋅
⃗
AB=¿
A．
2
9
B．
1
9
C．
2
3
D．1
6．已知复数
z
满足
|
z
)
=1
，且
|
z −1
)
=
|
z+i
)
，则
z❑2=¿
A．1 B．
−1
C．
i
D．
−i
7．已知双曲线
C:x❑2
a❑2−y❑2
4=1
(
a>0
)
的左右焦点分别为
F1
，
F2
，点
P
在双曲线的右支上运动（不与顶
点重合），设
P F1
与双曲线的左支交于点
Q
，
△PQ F2
的内切圆与
Q F2
相切于点
M
.若
|
QM
)
=4
，则双曲
线
C
的离心率为
A．
❑
√
2
B．
❑
√
3
C．2 D．
❑
√
5
8．定义
min {a ,b }=
{
a , a<b
b , a ≥ b
)
(
a , b ∈R
)
，设
f
(
x
)
=min{2❑x− a , − x +6− a}
，
x∈R
. 若函数
y=f
(
x
)
+ax
有两个零点，则实数
a
的取值范围是
A．
(
0,1
)
B．
(
0,2
)
C．
(
−1,0
)
D．
(
−2,0
)
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知等差数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，则下列命题为真命题的是
A．若
a3+a4=9
，
a7+a8=18
，则
a1+a2=5
B．若
a2+a13=4
，则
S14=28
C．若
S15 <0
，则
S7>S8
D．若
{an}
和
{an⋅an+1}
均为递增数列，则
an>0
10．存在函数
f
(
x
)
满足：对于任意的
x∈R
，都有
A．
f
(
sin x
)
=cos 2 x
B．
f
(
cos 2 x
)
=sin x
C．
f
(
x❑2+2x
)
=
|
x+1
)
D．
f
(
x❑2+1
)
=
|
x+1
)
11．如图，棱长为 2的正方体
ABCD− A1B1C1D1
的内切球为球
O
，
E
，
F
分别是棱
AD
，
B B1
的中点，
G
在棱
AB
上移动，则
A．对于任意点
G
，
OD /¿
平面
EFG
B．直线
EF
被球
O
截得的弦长为
❑
√
2
C．过直线
EF
的平面截球
O
所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
π
2
D．当
G
为
AB
的中点时，过
E
，
F
，
G
的平面截该正方体所得截面的面积为
2❑
√
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．
△ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
b=2asin B
，
bc=4
，则
△ABC
的面积为
.
13．已知随机事件
A
，
B
，若
P
(
A
)
=1
3
，
P
(
B∨A
)
=3
5
，
P
(
A∨B
)
=4
7
，则
P
(
B
)
=¿
Ù .
14．已知函数
f
(
x
)
=e❑2x −1− e❑1−2x+sin
(
π
2x − π
4
)
+1
，则不等式
f
(
2x+1
)
+f
(
2− x
)
≥2
的解集为
.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数
f
(
x
)
=e❑x− ax −1
.
（1）讨论
f
(
x
)
的单调性；
（2）若对任意的
x ≥ 0
，
f
(
x
)
≥0
恒成立，求实数
a
的取值范围.
16．（15 分）
如图，在直三棱柱
ABC − A 1B1C1
中，
AB=BC=2
，
AB⊥BC
，
C C1=2❑
√
3
，
⃗
BE=λ
⃗
B B1
(
0<λ<1
)
.
（1）当
λ=1
3
时，求证：
CE ⊥
平面
ABC1
；
（2）设二面角
B− AE − C
的大小为
θ
，求
cos θ
的取值范围.
17．（15 分）
一个池塘里的鱼的数目记为
N
，从池塘里捞出 200 尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小
段时间后再从池塘里捞出 500 尾鱼，
X
表示捞出的 500 尾鱼中有标识的鱼的数目.
（1）若
N=5000
，求
X
的数学期望；
（2）已知捞出的 500 尾鱼中 15 尾有标识，试给出
N
的估计值（以使得
P
(
X=15
)
最大的
N
的值作为
N
的估
计值）.
18．（17 分）
已知
A
(
−2,0
)
，
B
(
2,0
)
，
F1
(
−1,0
)
，
F2
(
1,0
)
，动点
P
满足
kPA ⋅kPB=−3
4
，动点
P
的轨迹为曲线
C
.
P F1
交
曲线
C
与另一点
Q
，
P F2
交曲线
C
与另一点
R
.
（1）求曲线
C
的标准方程；
（2）已知
|
P F1
)
|
Q F1
)
+
|
P F2
)
|
R F2
)
是定值，求该定值；
（3）求
△PQR
面积的范围.
19．（17 分）
定义：若对
∀k∈N∗
，
k ≥ 2
，
ak −1+ak+1≤2ak
恒成立，则称数列
{an}
为“上凸数列”.
（1）若
an=❑
√
n❑2−1
，判断
{an}
是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由.
（2）若
{an}
为“上凸数列”，则当
m ≥n+2
(
m , n ∈N❑∗
)
时，
am+an≤ am −1+an+1
.
（ⅰ）若数列
Sn
为
{an}
的前
n
项和，证明：
Sn≥n
2
(
a1+an
)
；
（ⅱ）对于任意正整数序列
x1, x2, x3,⋯, xi,⋯, xn
（
n∈N∗
且
n ≥ 2
），若
∑
i=1
n❑
√
xi
2−1≥❑
√
(
∑
i=1
n
xi− λ
)
2
−1
恒
成立，求
λ
的最小值.
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