江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期1月期末检测数学答案

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2023—2024 学 年 第 一 学 期 期 末 检 测
高三数学参考答案 2024.01
1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C
9．BC 10．AD 11．AC 12．ABD
13．8 14．
3
15．
1
(0, ]
2
16．
6
7
17.【答案】(1) 在△ABC 中，由正弦定理得：
sin sin
ab
AB
，
又因为
4ab
，所以
sin 4sin 4sin( ) 4sin( )A B B A C  
，
又因为
3
C
，所以
，
所以
sin 2 3cosAA
， ················································································· 3分
因为
(0, )A
，所以
sin 0A
，所以
cos 0A
，
所以
sin
tan 2 3
cos
A
AA
 
． ············································································· 5分
(2) 方法一：在△ABC 中，由余弦定理得：
2 2 2 2 cosc a b ab C  
，
又
1c
，
4ab
，
3
C
，所以
22
1 16 2 4 cos 3
b b b b
 
，
解得
21
13
b
， ······························································································ 8分
所以
2
1 1 3 3
sin 4 3
2 2 2 13
ABC
S ab C b b b  
△
． ·············································10 分
方法二：由(1)知
sin 23
cos
A
A
，又
22
sin cos 1AA
，解得
212
sin 13
A
.
在△ABC 中，由余弦定理得
sin sin
ac
AC
，
所以
22
2
2
sin 16
sin 13
cA
aC

， ················································································ 8分
所以
2
1 1 3 3 3
sin
2 2 4 2 16 13
ABC
a
S ab C a a  
△
. ···············································10 分
18.【答案】(1) 因为
13
n n n
a a b

，
13
n n n
b a b

，
所以
11
4 4 4( )
n n n n n n
a b a b a b

 
， ······························································ 2分
又
13a
，
11b
，所以
11
40ab  
，所以
 
nn
ab
各项均不为 0， ························ 3分
所以
11
4
nn
nn
ab
ab

是常数，
所以数列
 
nn
ab
是等比数列． ······································································· 5分
(2) 由(1)知，
4n
nn
ab
. ① ·········································································· 6分
方法一：因为
13
n n n
a a b

，
13
n n n
b a b

，
所以
11
2 2 2( )
n n n n n n
a b a b a b

 
， ······························································ 8分
又
13a
，
11b
，所以
11
20ab  
，所以
 
nn
ab
各项均不为 0，
所以
11
2
nn
nn
ab
ab

是常数，
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}
第2页（共 5页）
所以数列
 
nn
ab
是首项为 2，公比为 2的等比数列，
所以
2n
nn
ab
. ②
①+②：
2 4 2
nn
n
a
，所以
1(4 2 )
2
nn
n
a
. ·······················································12 分
方法二：因为
13
n n n
a a b

，
4n
nn
ab
，所以
124
n
nn
aa

， ····························· 8分
所以
1
1
12
22
n
nn
nn
aa

，
所以
2n
时，
2 2 1 1
11
1
1 2 2 2 2 1 2
2 2 2 2
n n n
n
n
aaa
 
    …
，
所以
2 1 1
2 2 ( 2)
nn
n
an

 ≥
，
又
1n
时，上式也成立，所以
1(4 2 )
2
nn
n
a
． ··················································12 分
19．【答案】(1) 方法一：连结
PM
，
MB
，
BD
.
因为
PAD△
为等边三角形，
M
是
AD
的中点，所以
PM AD
.
又因为平面
PAD
平面
ABCD
，平面
PAD
平面
ABCD
AD
，
PM
平面
PAD
，
所以
PM
平面
ABCD
.··················································································· 2分
因为
MB BC 、
平面
ABCD
，所以
PM MB
，
PM BC
.
在
Rt
PMB△
中，
3PM
，
6PB
，所以
22
3MB PB PM  
，
在
MAB△
中，
1MA
，
2AB
，
所以
2 2 2
MA MB AB
，所以
2
AMB

，则
MB AD
. ······································· 4分
又
AD BC∥
，所以
BC MB
，
又因为
BC PM
，
PM MB M
，
PM MB 、
平面
PBM
，
所以
BC
平面
PBM
，又
MN
平面
PBM
，所以
BC MN
. ································· 6分
AB
C
D
P
M
N
xy
z
AB
C
D
P
M
N
xy
z
Q
(方法一图) (方法二图)
方法二：连结
PM
，
因为
PAD△
为等边三角形，
M
是
AD
的中点，所以
PM AD
.
又因为平面
PAD
平面
ABCD
，平面
PAD
平面
ABCD
AD
，
PM
平面
PAD
，
所以
PM
平面
ABCD
. ··················································································· 2分
如图，在平面
ABCD
内，作
MQ MA
，分别以
,,MA MQ MP
为
,,x y z
轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，则
(1,0,0)A
，
(0,0, 3)P
.
设
( , ,0)C a b
（
0b
），则
( 2, ,0)B a b
.
因为
2AB
，所以
22
( 1) 4ab  
. ①
因为
10PC
，所以
22
3 10ab  
. ② ···························································· 4分
由①②，解得：
2a
，
3b
（舍负）.
所以
( 2, 3,0)C
，
(0, 3,0)B
，
因为
N
为
PB
的中点，所以
33
(0, , )
22
N
，所以
( 2,0,0)BC 
，
33
(0, , )
22
MN
，
所以
0BC MN
，所以
BC MN
． ································································· 6分
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}
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