江苏省盐城市三校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试 数学 含答案

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2023-2024 学年度高二年级第二学期期中联考试卷
数学试题
本试卷分试题卷和答题卷两部分。试题卷包括 1至4页；答题卷 1至4页。满分 150 分。
考试时间 150 分钟。
命题：姚爱亮 审核：胡芳
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．由 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为
A．24 B．60 C．120 D．720
2．如果数列
{an}
的前
n
项和
Sn=n❑2+2n
，那么
a12
的值为
A．23 B．24 C．25 D．26
3．如图，在平行六面体
ABCD− A1B1C1D1
中，
M
为
A1C1
与
的交点.若
⃗
AB=a ,
⃗
AD=b ,
⃗
AA1=c
，
则下列向量中与
⃗
BM
相等的是
A．
1
2a+1
2b+c
B．
−1
2a+1
2b+c
C．
−1
2a− 1
2b+c
D．
1
2a − 1
2b+c
4．某学校运动会上一天安排长跑、跳绳等 6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安
排跳绳，则不同的安排方案种数为
A．504 B．510 C．480 D．500
5．设
(
1+2x
)
❑5=a0+a1x+a2x❑2+…+a5x❑5
，则
a1+a2⋯+a5=¿
A．
−2
B．
−1
C．242 D．243
6．甲袋中有 3个白球和 2个红球，乙袋中有 2个白球和 3个红球，丙袋中有 3个白球和 4个红球.先随机取
一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是
A．
11
27
B．
10
27
C．
10
21
D．
11
21
7．设函数
f
(
x
)
=sin x+x
，则满足
f
(
ln x
)
+f
(
x −1
)
<0
的
x
的取值范围是
A．
(
0,1
)
B．
(
− ∞ , 1
)
C．
(
1,+∞
)
D．
(
1, e
)
8．已知
F1, F2
是双曲线
C:x❑2
a❑2−y❑2
b❑2=1
(
a>0, b>0
)
的左、右焦点，经过点
F1
的直线与双曲线
C
的左、
右两支分别交于
A , B
两点，若
|
A F1
)
=2a , S△AB F 2=4❑
√
3a❑2
，则双曲线
C
的离心率为
A．
❑
√
3
B．
❑
√
7
C．
❑
√
33
3
D．
❑
√
57
3
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．已知
P
(
A
)
=1
4, P
(
B∨A
)
=1
3
.若事件
A , B
相互独立，则
A．
P
(
B
)
=1
3
B．
P
(
AB
)
=1
12
C．
P
(
A∨B
)
=1
2
D．
P
(
A+B
)
=3
4
10．正方体
ABCD− A1B1C1D1
的棱长为 2，
E
为
DC
的中点，则
A．
E B1⊥A D1
B．
D1E
与
A C1
所成角余弦值为
❑
√
15
5
C．面
AE D1
与面
ABCD
所成角正弦值为
❑
√
30
5
D．
C
与面
AED
的距离为
❑
√
6
3
11．在边长为 3的正方形
ABCD
中，作它的内接正方形
EFGH
，且使得
∠BEF =15❑∘
，再作正方形
EFGH
的内接正方形
MNPQ
，使得
∠FMN =15❑∘
依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第
n
个正
方形的边长为
an
（其中第 1个正方形的边长为
a1=AB
，第 2个正方形的边长为
a2=EF , ⋯⋯
），第
n
个直
角三角形（阴影部分）的面积为
Sn
（其中第 1个直角三角形
AEH
的面积为
S1
，第 2个直角三角形
EQM
的
面积为
S2
，
⋯ ⋯
，）则
A．
a2=❑
√
6
B．
S1=3
4
C．数列
{Sn}
是公比为
❑
√
6
3
的等比数列 D．数列
{an
2}
的前
n
项和
Tn
取值范围
¿
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）
12．已知某批产品的质量指标
X
服从正态分布
N
(
25 ,0.16
)
，其中
X∈[24.6 ,26.2]
的产品为“可用产品”，
则在这批产品中任取 1件，抽到“可用产品”的概率约为 Ý .
参考数据：若
X∼N
(
μ , δ ❑2
)
，则
P
(
μ − δ ≤ X ≤ μ+δ
)
≈0.6827 , P
(
μ − 2δ ≤ X ≤ μ+2δ
)
≈0.9545
，
P
(
μ − 3δ ≤ X ≤ μ+3δ
)
≈0.9973
13．设点
P
是曲线
x❑2=4y
上一点，则点
P
到直线
l: 3 x+4y+6=0
最小的距离为 Ý .
14．设
a , t ∈R
，，不等式
ln x − tx −a − 1≤0
在
(
0,+∞
)
上恒成立，则
a
t
的最小值 Ý .
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请
把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分 13 分）
已知
(
❑
√
x+1
x
)
❑n
的展开式中，第 2项与第 3项的二项式系数之比为
1 : 3
.
（1）求
n
的值；
（2）求展开式中含
1
x
的项.
16．（本小题满分 15 分）
已知函数
f
(
x
)
=1
3x❑3+ax ❑2−5x+b
在
x=−1
处取得极大值，且极大值为 3.
（1）求
a , b
的值：
（2）求
f
(
x
)
在区间
(
m ,2m− 1
)
上不单调，求
m
的取值范围.
17．（本小题满分 15 分）
为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决
定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取 4个问题作
答.已知这 6个问题中，甲能正确回答其中的 4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、
互不影响的.
（1）求甲老师答对 2个问题的概率；
（2）若测试过程中答对 1个问题得 2分，答错得 0分，设随机变量
X
表示甲的得分，求
E
(
X
)
, D
(
X
)
.
18．（本小题满分 17 分）
如图，已知四棱台
ABCD− A1B1C1D1
的上、下底面分别是边长为 2和4的正方形，平面
A A1D1D⊥
平
面
ABCD , A1A=D1D=❑
√
17
，点
P
是棱
D D1
的中点，点
Q
在棱
BC
上.
（1）当
Q
点在什么位置时，使得
PQ /¿
平面
AB B1A1
；
（2）若面
A A1B1B
与面
PQD
所成角的正弦值为
3
34
❑
√
34
，求
BQ
的长.
19．（本小题满分 17 分）
已知椭圆
M:x❑2
a❑2+y❑2
b❑2=1
(
a>b>0
)
经过
(
4❑
√
2
3,
❑
√
3
3
)
和
(
❑
√
2,
❑
√
6
2
)
，
A , B , C
分别为椭圆的左顶点、右顶
点、上顶点.
（1）求椭圆
M
的标准方程；
（2）过
x
轴上点
D
（点
D
在椭圆
M
长轴上）作直线交椭圆
E、F
两点，且
E
(
1,3
2
)
，若
S△EAD − S△FBD=3
2
，
求
F
点的坐标；
（3）过点
B
作直线交椭圆
M
于
P
点，交直线
AC
于
Q
，直线
CP
于
x
轴相交于
N
，求证
2kQN − kQB
为定值，
并求此定值.（其中
kQN , kQB
分别为直线
QN
和直线
QB
的斜率）.
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